Euler-Lagrange equation的推导

2018-11-11 本文已影响0人约翰L

通过捷径泛函方式推导：

首先给定泛函数：

S= $\int_{x1}^{x2}L(f(x),f(x),x)dx$

已经固定两个端点x1和x2,在泛函数取到极值时函数是g(x),所谓最短路径曲线；

这里我们定义几个实验函数：h(x)=g(x)+ $\xi$ g(x)

且要保证 $\xi (g(x1))=\xi (g(x2))=0$

此处可以看出， $\xi g(x)$ 是g(x)的变分；

我们让泛函S取得极值，则：

$\sigma S$ = $\sigma \int_{x1}^{x2}L(f(x),f(x),x)dx$

即：

$\int_{x1}^{x2} (dL\sigma g/dy)dx+\int_{x1}^{x2} (dL\sigma g/dy)dx$

分步积分：

$\int_{x1}^{x2} (dL\sigma g/dg)dx$ + $\int_{x1}^{x2}(dL\sigma g/dy)dx$ -

前半部分等于零，所以后半部分也应该是零，

即：

$\sigma L/\sigma g-d(dL/dg)/dx$ =0

这就是欧拉-拉格朗日方程了