函子与单子--从范畴论到编程

作为一名计算机工作者，理解范畴论中的函子与单子的目的，还是为了更好的理解函数式编程中的函子与单子，对于我来说，没有比理清两者之间的对应关系，能更好的帮助理解了。

先看一个范畴论中的函子F：

    1. 给定一个范畴C，其元素为{X，Y，Z}，态射为{f:X->Y,  g:Y->Z};

    2. 假设F是一个从C到D的函子，记作F：C->D

    3. 那么范畴D的元素为{F(X), F(Y), F(Z)}, 态射为{F(f), F(g)}

    这个函子F的能力概括为两点：

         1. 能把C中的每一个元素，映射到D上，例如Fx：X->F(X)

         2. 能把每一态射从C到映射到D上

简单的替换一下名称：

    1. 给定一个范畴Types，其元素为{String，Enum, Int}，态射为{f:String->Enum,  g:Enum->Int};

    2. 假设Fun是一个从Types到FunTypes的函子，记作Fun：Types->FunTypes

    3. 那么范畴FunTypes的元素为{Fun(String), Fun(Enum), Fun(Int}, 态射为{Fun(f), Fun(g)}

对应起来

    以Scala为例，如果把Fun(String)写为Fun[String], 那么这个Fun：Types->FunTypes很接近Scala中的一个Functor了，区别是Scala没有Fun(F)这样的形式，而以Fun.map(f)的形式代替，Fun.map(f: String->Enum): Fun[String] -> Fun[Enum].   

    在Scala中，一个函子F，天然具有把一个类型X映射到另外一个类型F[X]的能力，而map方法提供了映射态射（在编程语言中，就是函数）的能力，满足了函子的的两个能力。

单子呢？

    与函子有一些区别，但根据函子的定义，也不难对应，我总结了一个对应表，总结他们的映射关系，如下表，其中A:C表示A是范畴C的一个元素，F[A]:D表示F[A]是D的一个元素；

小刚的图