时间序列分析

2019-02-10 本文已影响0人格物致知Lee

本文的主题是关于时间序列建立ARIMA模型的相关理论解释以及运用Python进行实际建模的详细过程。

1.自回归模型（AutoRegressive model）

AR模型是统计上一种处理时间序列的方法，即用同一变量在之前各个时期， $x_{1}$ 至 $x_{t-1}$ 来预测 $x_{t}$ 的表现，并假设它们为线性关系。例如用日期20180701 $\iff$ 20180801之间每日的 $PM_{2.5}$ 浓度预测20180802当日的 $PM_{2.5}$ 浓度。因为这是从回归分析中的线性回归发展而来，只是不用 $x$ 预测 $y$ ，而是用 $x$ 预测 $x$ 自己，所以叫做自回归。

数学定义：

其中：c是常数项，

\varepsilon _{t}

为随机误差，

\varphi _{i}

为相关系数

解释为： $X$ 的当期值等于数个往期值的线性组合+常数+随机误差。

2.移动平均模型（Moving Average model）

MA模型是指 $x_{t}$ 只取决于符合白噪声（ $E(x) = 0$ , $Var(x) = \sigma ^2$ $\neq 0$ ）的随机误差过程。移动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。

数学定义：

其中：μ 是序列的均值，θ1,..., θq 是参数，εt , εt-1,..., εt−q 都是白噪声

3. ARMA(p,q)模型(AutoRegressive Moving Average model）

ARMA(p,q)模型是AR模型与MA模型的混合，通常的时间序列 $X_{t}$ 的当期值取决于 $X$ 的p个往期值和q个白噪声分布的往期值，也就是说ARMA(p,q)模型中包含了p个自回归项和q个移动平均项。

数学定义：

4.自相关函数(Autocorrelation Function)

ACF是指一个序列 $x_{t}$ 自身在不同时间点的互相关，通俗的讲它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。例如：

数学定义：

其中：K为滞后

自相关函数图像（自相关图）：

5.偏自相关函数（Partial Correlation Function）

偏自相关函数图像（偏自相关图）：

6.时间序列建模

基本流程如图所示：

6.1 时间序列的平稳性检验

如果时间序列 $x_{t}$ 在某一常数附件波动且波动范围有限，即有常数均值和常数方差，并且延迟K期的序列变量的自相关系数是相等的或者说延迟K期的序列变量之间的影响程度是一样的，则称 $x_{t}$ 为平稳序列。平稳性检验的方法有：

6.1.1 时序图检验

平稳序列的时序图显示 $x_{t}$ 的序列值始终在一个常数附近随机波动，而且波动的范围有界，如果有明显的递增，递减的趋势或周期性则通常不是平稳序列。

6.1.2 自相关图检验

平稳序列的自相关系数 $p_{k}$ （延迟k期）会比较快的衰减趋向于0，并在0附近小幅度随机波动，而非平稳序列的自相关系数衰减比较慢。

6.1.3单位根检验（Augmented Dickey-Fuller test）

ADF检验的原假设是存在单位根，只要这个统计值是小于1%水平下的数字就可以极显著的拒绝原假设，认为数据平稳。注意，ADF值一般是负的，也有正的，但是它只有小于1%水平下的才能认为是及其显著的拒绝原假设。对于ADF结果在1% 以上 5%以下的结果，也不能说不平稳，关键看检验要求是什么样子的。

python中的 statsmodels.tsa.stattools.adfuller 模块可进行adf校验

如何确定该序列能否平稳呢？主要看：1%、%5、%10不同程度拒绝原假设的统计值和ADF Test result的比较，ADF Test result同时小于1%、5%、10%即说明非常好地拒绝该假设，本数据中，adf结果为-9，小于三个level的统计值。P-value是否非常接近0.本数据中，P-value 为 2e-15,接近0，说明该序列为平稳序列。

6.2 白噪声检验

白噪声也称为纯随机序列，它的序列值之间没有任何关系，可以停止对该序列的分析。

即（ $E(x) = 0,Var(x) = \sigma ^2$ $\neq 0$ ）

python中的 statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox 模块可以进行白噪声校验

Ljung–Box检验的原假设是序列为白噪声序列，只要这个统计值是小于5%水平下的数字就可以极显著的拒绝原假设，认为非白噪声序列。

6.3 时间序列建模

6.3.1 AR,MA,ARMA模型的选择：

6.3.2 参数选择

通过ACF，PACF图像选择ARIMA模型的p,q阶数不是很高效，所以不过多赘述，有兴趣的小伙伴可以留言交流。在实际建模过程中主要通过赤池信息准则（Akaike Information Criterion，AIC）和贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）来进行p,q的选择。

数学定义：

其中：k是模型个数，L是似然函数

从一组可供选择的模型中选择最佳模型时，通常选择AIC最小的模型。留意上述公式当模型复杂度提高（k增大）时，似然函数L也会增大，在没有惩罚向时选择AIC最小的模型容易造成过拟合现象，于是就有了BIC

数学定义：

其中：k是模型可是，n是样本数，L是似然函数

在选择最小BIC模型的过程中，kln(n)惩罚项在维数过大且训练样本数据相对较少的情况下，可以有效避免出现维度灾难现象。

以上为时间序列建立ARIMA模型的相关理论知识，如果有需要用python建立时间序列模型进行预测的小伙伴的可以上访问我的github：

https://github.com/Rocky1ee/time-series/blob/master/ARIMA%20Model.ipynb

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时间序列分析

本文的主题是关于时间序列建立ARIMA模型的相关理论解释以及运用Python进行实际建模的详细过程。

1.自回归模型（AutoRegressive model）

2.移动平均模型（Moving Average model）

3. ARMA(p,q)模型(AutoRegressive Moving Average model）

4.自相关函数(Autocorrelation Function)

5.偏自相关函数（Partial Correlation Function）

6.时间序列建模

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