施密特正交化公式如何理解和记忆

在线性代数课程中，有一个长相比较狰狞的施密特正交化公式。对于初次接触它的同学来讲，如何理解和记忆该公式还是有一定难度的。这部分内容如果和高等数学的相关知识点结合起来，就会相对容易一些。

首先先复习高等数学中有关数量积，也就是内积的相关知识点。

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Gram–Schmidt process_副本.png

以两个线性无关的向量和（红色）为例说明如何实现正交化。令(为绿色，为什么绿色的长度和红色不一样？），观察图片不难发现，蓝色虚线所代表的向量正是苦苦寻找的(因为它和垂直)，而这个蓝色的向量刚好可由减去（长度不一样就是为了这一步。另外真的不用担心长度，因为最后都会单位化的。）。啰嗦了半天，施密特正交化的思想就是这么简单。

先让一个新的等于旧的，再让第二个旧的减去第二个旧的在新的上面的投影就会得到第二个新的……也就是说这部分是个投影向量(绿色)，因为它可以变形为。(化简后就可以看出来了。为和的夹角）

根据这个原理，不难得出其它相应的公式。如新的等于旧减去在的投影向量，再减去在的投影向量。用一句话总结，就是新的向量等于旧向量减去旧的在新的上面投影向量。旧原理讲到这里，那该如何又快又好的记忆呢？

仔细观察上面的公式，即使不理解施密特正交化原理，也可以很好记忆的。如果把右侧的每一部分认为是用加减符号分割的，那么每一次第一个下笔的符号都是旧的（如上面的第一个下笔的都是),其余的都是新的并且是一样的（如上面的第二项写完后全是)。
归根到底施密特正交化公式就是：旧的不减，新的不来。