二阶变系数线性常微分方程的求解

2021-02-25 本文已影响0人 Raow1

之前总结过一次常见的常微分方程的解法，不过里面并没有二阶变系数线性常微分方程的求解方法，现在补充如下。

对于 $f(x)y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$ 形式的微分方程，主要求解步骤为：猜根；刘维尔公式；常数变易。

1. 猜根

此处的猜根是指对方程对应的齐次形式，且忽略初值条件。

$f(x)+p(x)+q(x)=0$ ，则存在一特解 $y=e^x$
$p(x)=f(x)+q(x)$ ，则存在一特解 $y=e^{-x}$
$p(x)=-xq(x)$ ，则存在一特解 $y=x$
$q(x)=0$ ，则存在一特解 $y=c$ 。(明显也是可降阶的微分方程)

2. 刘维尔公式

得到一个特解后，使用刘维尔公式 $y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)\mathrm dx} \mathrm dx$ ，或者另一形式的刘维尔公式 $w(x)=Ce^{-\int P(x)\mathrm dx}$ （以上 $P(x)=\frac{p(x)}{f(x)}$ ），即可求得另一特解。
于是便得到了对应齐次方程的通解。

个人觉得第二种形式的刘维尔公式算起来更方便。

3. 常数变易

假如通过以上步骤得到齐次方程的通解为 $Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ ，常数变易法令非齐次的通解为 $y=v_1(x)y_1(x)+v_2(x)y_2(x)$ 。所以有
$\begin{cases} & y_1v_1 '+y_2v_2' = 0 \\ & y_1'v_1'+y_2' v_2' = \frac{g(x)}{f(x)} \end{cases}$
简写做，
$\begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1' \\ v_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{g(x)}{f(x)} \end{pmatrix}$
于是便可以解得 $v_1',v_2'$ ，积分得到 $v_1,v_2$ 后，代入即可得到非齐次方程的通解。

二阶变系数线性常微分方程的求解

1. 猜根

2. 刘维尔公式

3. 常数变易

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