高中数学纲目

解析几何之目：2021年理数全国卷A题20

2022-03-31 本文已影响0人易水樵

2021年理数全国卷A题20

分值：12分

抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，直线 $l:x=1$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，且 $OP \perp OQ$ . 已知点 $M(2,0)$ ，且 $\odot\, M$ 与 $l$ 相切.

（1）求 $C, \odot M$ 的方程;

（2）设 $A_1,A_2,A_3$ 是 $C$ 上的三个点，直线 $A_1A_2, A_1A_3$ 均与 $\odot M$ 相切. 判断直线 $A_2A_3$ 与 $\odot M$ 的位置关系，并说明理由.

【解答问题1】

依题意可知： $x$ 轴是抛物线 $C$ 的对称轴； $P,Q$ 两点关于 $x$ 轴对称，

∴ $OQ=OP$ , $\triangle OPQ$ 是等腰直角三角形,

$P,Q$ 两点坐标为： $(1, \pm 1)$ ,

抛物线 $C$ 的方程为： $y^2=x$ .

∵ 点 $M(2,0)$ 与直线 $l$ 的距离为 $1$ ,

∴ $\odot M$ 的方程为： $(x-2)^2+y^2=1$

【解答问题2】

∵ $A_1,A_2,A_3$ 是 $C$ 上的三个点，可设点 $A_1$ 的坐标为 $A_1(t^2,t)$ .

过点 $A_1$ 的直线方程可设为： $x-t^2= \lambda(y-t)$

即： $x-\lambda y +\lambda t -t^2=0$

若该直线与 $\odot M$ 相切，则与 $M(2,0)$ 的距离等于 $1$ ，根据距离公式得：

$(2+\lambda t -t^2)^2=1+\lambda^2$

$(t^2-1)\lambda^2-2t(t^2-2)\lambda+(t^2-1)(t^2+3)=0$

根据韦达定理可得：

$\lambda_2+\lambda_3= \dfrac{2t(t^2-2)}{t^2-1}=2t-\dfrac{2t}{t^2-1}$

$\lambda_2\cdot\lambda_3=t^2-3$

$\lambda_2,\lambda_3$ 分别对应于直线 $A_1A_2, A_1A_3$ .

∵ $A_1,A_2,A_3$ 是 $C$ 上的三个点，

∴ $\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=y_1+y_2$ ,

$\dfrac{x_1-x_3}{y_1-y_3}=y_1+y_3$

$y_2+y_3 = (\lambda_2+\lambda_3)-2y_1$

$=\dfrac{-2t}{t^2-1}$

$\lambda_2 \cdot \lambda_3=t^2+t(y_2+y_3)+y_2y_3$

$y_2y_3=\dfrac{3-t^2}{t^2-1}$

$y^2_2+y^2_3=(y_2+y_3)^2 -2y_2y_3$

$=\dfrac{2(t^4-2t^2+3)}{(t^2-1)^2}$

记 $A_2A_3$ 中点为 $M(x_{_M}, y_{_M})$ , 则

$y_{_M} = \dfrac{1}{2} (y_2+y_3)$

$=\dfrac{-t}{t^2-1}$

$x_{_M}= \dfrac{1}{2}(y^2_2+y^2_3)$

$=\dfrac{(t^4-2t^2+3)}{(t^2-1)^2}$

直线 $A_2A_3$ 的方程为：

$x- \dfrac{(t^4-2t^2+3)}{(t^2-1)^2} = \dfrac{-2t}{(t^2-1)} (y+\dfrac{t}{t^2-1})$

$(t^2-1)^2x+2t(t^2-1)y-(t^2-1)(t^2-3)=0$

$t=1$ 可以排除

直线 $A_2A_3$ 的方程为：

$(t^2-1)x+2ty-(t^2-3)=0$

记该直线与 $M(2,0)$ 的距离为 $d$ , 则

$d= \dfrac{|2(t^2-1)-t^2+3|}{\sqrt{(t^2-1)^2+4t^2}}$

$=\dfrac{|t^2+1|}{\sqrt{(t^2+1)^2}}=1$

∴ $A_2A_3$ 与 $\odot M$ 相切. 证明完毕.

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