高中数学纲目

两角相等~抛物线：2015年理数全国卷A题20

2021-09-19 本文已影响0人易水樵

两角相等~抛物线：2015年理数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C:y=\dfrac{x^2} {4}$ 与直线 $l: y=kx+a（a \gt 0）$ 交于 $M，N$ 两点.

（I）当 $k=0$ 时，分别求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程;

（Ⅱ） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得当 $k$ 变动时，总有 $\angle OPM=\angle OPN$ ? 说明理由.

【解答问题I】

当 $k=0$ 时， $M,N$ 满足如下方程组：

$\left\{ \begin{array} \\ y=\dfrac{x^2}{4} \\ y=a \\ \end{array} \right.$

解得两点坐标为： $(-2\sqrt{a},a),(2\sqrt{a},a)$

曲线 $C:y=\dfrac{x^2} {4}$ 可以视作函数 $y=f(x)= \dfrac{x^2} {4}$ 的图像。

其导函数 $f'(x)=\dfrac{x}{2}$

$f'(-2\sqrt{a})=-\sqrt{a},\;f'(2\sqrt{a})= \sqrt{a},$

相应的切线方程为： $y=-\sqrt{a}x-a$ , $y= \sqrt{a}x-a$ .

【解答问题Ⅱ】

如图所示，若 $\angle OPM=\angle OPN$ , 则 $k_{_{PM}} = - k_{_{PN}}$

设点 $P$ 坐标为 $(0,t)$ , 并记 $M,N$ 坐标为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$

$k_{_{PM}} = - k_{_{PN}} \Rightarrow\; \dfrac{y_1-t}{x_1} + \dfrac{y_2-t}{x_2} =0$

$\Rightarrow\; x_1y_2+x_2y_1-t(x_1+x_2)=0$

$\Rightarrow\; 2kx_1x_2+(a-t)(x_1+x_2)=0$

$M,N$ 坐标满足如下方程：

$\left\{ \begin{array} \\ y=\dfrac{x^2} {4} \\ y= kx+a \end{array} \right.$

消元后得： $x^2-4kx-4a=0$

$x_1+x_2=4k,\; x_1x_2=-4a$

所以 $2k \cdot (-4a) +4k \cdot (a-t)=0$

$-4k(t+a)=0$

∴ $t=-a$

结论：满足条件的 $P$ 点坐标为 $(0,-a)$ .

【提炼与提高】

由 $\angle OPM=\angle OPN$ 可以推出 $PM,PN$ 两条直线的斜率互为相反数。根据这一结论可将几何问题转化为代数问题。

应用韦达定理，在不解方程的情况下，可以讨论两根的关系。从而得到一个关于 $P$ 点坐标的方程。

本题难度较低，求解方程较为典型。适合用作抛物线部分的补充习题。

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