必考知识点，CFA一级数量分析-常见概率分布-上
“ 学习应该应用于实践，实践让你的迷惑茅塞顿开。”
文：蓝兔子读难NOTES
图： 配图 来源于网络
编码：0007
[Quantitative Methods]
[Common Probability distribution-1]
上一篇文章我们讲了概率论基础，什么是随机事件，什么是随机事件的结果，以及随机事件之间的关系，是相互独立的，还是相互排斥的。在弄清楚了概率论基本的概念之后，我们又进一步讲解了概率的加法和乘法公式，并在乘法公式的基础上，引出了贝叶斯公式。虽然贝叶斯当时在研究这个公式时，只是想要证明上帝的存在，但是他并没能找到我们的造物主。反而是在当今，贝叶斯公式已经广泛应用于数据科学中，无论是天气预测还是医药测试都有贝叶斯公式的应用[1]。
如果你还是不明白贝叶斯公式的重要性，我这么跟你说：因为蘑菇弹的存在世界的历史被分成了两半，而因为贝叶斯公式，统计学被分成了两半，其中一半就叫做贝叶斯学派。在最新的发展中，贝叶斯公式已经在人工智能领域大规模应用。也许多年以后，我们的人工智能会通过贝叶斯公式找到他们的造物主。
在后面的内容中，我们又进一步解释了期望和方差相关的概念。期望代表者预期会得到的结果（概率加权），通常用在金融工具的收益计算中，而方差代表着收益的不确定性，用来衡量资产的风险。对于一个资产组合来说，用协方差来衡量其不确定性。
在了解了概率的相关概念之后，我们这篇文章，将会来说说那些非常重要或者常见（很大程度上，因为常见所以重要）的概率分布，他们实际上代表了很多前辈为我们总结的客观规律。有了前辈们的总结，我们想要造车，就不用去做炫酷的PPT了，哦不，是就不需要去重新造轮子了。那下面，我们就直接去把前辈们的轮子搬回自己家吧。
基本概念和术语
为了更好的学习这篇文章的内容，我们先复习一下上篇文章中的两个概念：随机事件和随机变量。随机事件，某件事情的结果具有不确定性，任何一个结果发生都是一个随机事件发生，而发生的结果就是随机变量的值。以抛骰子为例，随机事件就是抛出骰子得到一个数，这个具体的数会是多少，是不确定的，叫做随机变量。接下来，我们开始介绍概率分布相关的概念。
概率分布(probability distribution)：某一个事情有多个可能的结果，每一个结果发生，都各自对应一个概率。发生的结果和其概率的函数关系就叫做概率分布。根据事情发生结果的不同，可以分为离散随机变量和连续随机变量，对应的就是离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布(discrete distribution)，最常见的就是丢硬币和抛骰子了，每次事件的结果的可能性是有限的或者可以数出来的。丢硬币无非正反两个结果，抛骰子也就6个结果。因为离散的结果一般是有间距且有限的，可以用表格或者方图来记录。
连续概率分布(continuous distribution)：与离散概率分布相对，其事件的结果具有无限多种且根本就不能数，比如量同学的身高。每一位同学的身高都有无限种可能，哪怕是在175mm和176mm之间，也能量出无限种可能。连续概率分布一般使用概率密度函数(probability density function | PDF)来描述。
正是因为连续概率随机变量的结果可能为无数多个，我们可以近似认为某一确定的结果发生的可能性近乎为0，所以其有如下性质：
一般衡量事件出现在某个区间内的概率，如上图的阴影区域就是结果在(a,b)的概率；
认为某个点上的概率为0，即P(a)=P(b)=0，所以1中使用开区间还是比区间不影响；
因为一个事件所有结果的概率和为1，所以上图中曲线与x轴围成的面积为1。
累积分布函数(cumulative distribution function | CDF)：在前面说统计相关内容时，当时也出现过累积相关的概念。所谓累积，就是在当前这个值之前的都算，以随机事件x为例，PDF表示为P(x)=P(x),而CDF表示为F(x)=P([-∞,x])，一般CDF用F表示。
对于CDF来说，在上图中，如果把结果在a到b之间的概率记为P([a,b]),则P([a,b])=F(b)-F(a)。
常见离散概率分布
这里要说的离散概率分布一共有3个：离散的均匀分布(uniform distribution)、伯努利分布(Bernoulli distribution)和二项分布(binomial distribution)。下面，一个一个来看。
均匀分布，应该是最简单的一个了。比如我们丢硬币，结果就是5/5开，正反面都是50%；抛骰子虽然结果有6种，但是每一个面的概率也是一样的。均匀分布指的就是，无论有多少种可能的结果，但出现每一种可能的结果的概率是相等的。
伯努利分布，也挺简单的，最典型的例子还是丢硬币，伯努利分布就是结果只有两种的分布。要么成功，要么失败，但是成功和失败的概率无需对等。联系前面说过的赔率，如果进行单次比赛，这次比赛的结果就是伯努利分布，有可能输有可能赢，且无需五五开。
二项分布，怎么说呢，也许是觉得一个简单的伯努利分布很难在数学史上名垂千古，伯努利想到了一个绝妙但却“无聊”的办法：把简单的事情重复做。通过把硬币一直丢这种方式，伯努利在伯努利分布的基础上搞出了二项分布，教科书式的说法，把伯努利实验重复n次就是二项分布。但是有两个点要注意：
每次实验是一样的，成功为p，失败为1-p；
每次实验是一样的，不受上次影响，不影响下次，成功为p，失败为1-p。
n次实验成功x次的概率，用大白话表示为：
从n次里面取出x次来成功，没有顺序要求，nCr；
x次成功，概率为p*p*p*～*p(x个)，
n-x次失败，失败的概率为((1-p)*(1-p)*~*(1-p)(n-x个))。
这三个事情同时发生，就是n次实验成功x次的概率：
最后，再记住这么一个结论就好啦：
这个难记吗？不难吧，看看这规律，二项分布他不就是n个伯努利嘛！
最后的最后，还有一个股价二叉树(binomial tree)的问题。举个例子，某只股票每期要么涨(up)要么跌(down)，问4期之后，股票价格为uudd的概率为多少。其实只要从四期里面选两期来d，剩下两期来u就可以了，解法同上面的二项分布。
常见连续概率分布
模拟分析
由于前面的废话说得有点多，显然字数是要超标了，而后面又有非常重要的正态分布，所以连续概率分布和模拟的内容放到下篇文章中，请大家自行查阅。
部分资料来源：
[1] Quartz Daily Brief . The most important formula in data science was first used to prove the existence of God
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