第一天复习数值分析计算和第二章插值法。

1.什么是绝对误差？

绝对误差概念

比如x=1.23,x*=1.234,则绝对误差为|1.234-1.23|=0.04

2.什么是相对误差？

相对误差概念

3.什么是有效数字？

有效数字概念

例子：写出下列个数的具有3位有效数字的近似值

18.93，0.03456，8.0032

则它的三位有效数字分别为 18.9，0.0345，8.00。

注意：0.2300是四位有效数字

4.什么是插值？

插值的概念

其中[a,b]为插值区间，x1,x2,.....xn为插值节点。

最终求得的P(xi)=f(xi),i=1,2,....n

则称P(x)为f(x)的插值函数

5.基函数插值法

基函数插值法

基函数法基本步骤

1.寻找合适的基函数

2.确定插值多项式在这组基下的表示系数

6.单项式基函数

利用线性无关的单项族：1,x,x^2,....,x^n.

构造n次多项式：f(x)=a0+a1*x+a2*x+......+an*x^n.

7.Lagrange插值基函数。

Lagrange插值基函数

8.线性与抛物线插值

线性插值多项式的两种特殊情况

插值举例：已知函数y=lnx的函数值如下

函数值

为了减小截断误差，通常选取插值点x邻接的插值节点。

线性插值求法

抛物线插值，取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得

ln0.54=-0.6153

抛物线插值精度比线性插值精度高

9.误差估计
Rn(x)=f(x)-Ln(x),Rn(x)为插值余项。

插值余项定义

10.插值余项

插值余项计算的注意点

插值误差举例

已知函数y=ln(x)的函数值如下

试估计线性插值和抛物线插值计算ln0.54的误差。

线性插值求误差余项

11.Newton插值

为什么要用Newton插值？

Lagrange插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数lk(x)都需重新计算，不太方便。

解决方法：设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即n次插值多项式可以由n-1次插值多项式生成，Newton插值法。

新的基函数

1.设插值节点为x0,.....xn.考虑插值基函数组。

插值基函数组

2.当增加一个节点xn+1时，只需要加上基函数

第n+1个节点的基函数

3.此时f(x）的n次插值多项式为

Newton插值多项式

其中，需要注意的只有两点

1.如何从pn-1(x)得到pn(x)?
2.怎样确定参数a0,........,an?

->需要用到差商

12.什么是差商？

差商的定义

差商的性质

差商与导数的性质

差商的计算

差商表

举例

计算过程：

差商具体计算过程

13.Newtow插值公式

Newton插值公式 Nn(x)为N次插值多项式

14.Newton/Lagrange插值多项式

n次插值多项式是唯一的
余项也相同

举例：

y=ln(x)的函数表

试分别用牛顿线性插值和抛物线线性插值计算ln(0.54)的近似值。

Newton插值解法

可以看出，当增加一个节点时，牛顿插值公式只需在原来的出上增加一项，前面的计算结果仍然可以使用。于拉格朗日插值相比，牛顿插值具有灵活增加节点的优点！注意：增加插值节点时，须加在已有插值节点的后面！