一般的Hull-White模型（传统模型）

在金融数学中，Hull-White模型是对未来利率进行建模的一个模型。按照最通用的表述，它属于无套利模型的一类，能够适应当今的利率期限结构。将未来利率演变的数学描述转换为树或晶格是相对直接的，因此可以在模型中对诸如百慕大掉期（Bermudan Swaption）等利率衍生产品进行估值。

John C. Hull和Alan White在1990 年描述了第一个Hull-White模型。该模型在当今市场上仍然很流行。

该模型为短期利率模型，通常具有如下的Dynamics。

最受欢迎的低维马尔可夫模型便是Hull-White （赫尔-怀特）模型。通常写为HW模型。使用的因子数量一般为一到两个，这里我们将重点关注Hull-White单因子模型。

另外，考虑到最新的CVA计算，已经对原始的传统模型执行了更有效的更新。这些现代模型包括GSR模型（Gaussian Short Rate）和LGM模型（Linear Gaussian Model），但是在这里我们考虑传统的HW模型。

在HW模型中，假设短期利率遵循正态分布且具有平均回归性。

粗略地说，平均回归系数是

・如果利率超过长期平均水平，则有下降的趋势。

・如果利率低于长期平均水平，则有上升趋势。

平均回归强度用于控制不同期限利率之间的相关性。期限结构模型是一个多资产模型，因此存在许多基础资产。

此处，利率模型中的基础资产是指具有各种到期日的贴现债券。

平均回归强度会影响具有不同到期日的贴现债券价格之间的相关性，我将在另一篇文章中对此进行详细介绍。

经常出现在教科书中的Black-Scholes模型中的标的资产变化率（Return）为正态分布，但是在大多数利率模型中标的资产本身便遵循正态分布，HW模型也是如此。这是因为利率本身已经代表了变化率（Return）。

HW模型具有以下三个参数。

・Theta

・Kappa

・Sigma

在传统的HW模型中，唯一依赖于时间变化的参数是Theta，而Kappa和Sigma都是平坦（Flat）的。

首先，Theta代表平均回归水平。它设置为复制当前的收益率曲线。由于此类Theta是通过解析公式计算得出的，因此不需要进行Calibration。但是，由于Theta的解析公式包含瞬时远期利率（Forward Rate），因此很难处理。

顺便说一下，现代的HW模型使用的公式是将Theta替换为Today的贴现债券价格。然后，Kappa（κ）表示均值回归的强度。理想的是校准不同期限的利率之间的相关性，但实际上，它将通过优化市场上的掉期价格与Sigma一起进行校准（Calibration）。

同时，在现代HW模型中，Kappa是由交易员输入的，一般大概会设置比如5％之类的适当值。当然，适当并不是完全随机的，但通常会设置为与Totem的百慕大掉期（Bermudan Swaption）价格相匹配的值。

最后，Sigma代表短期利率波动，并通过优化对市场掉期价格进行了校准。

HW模型的用法是

・带可赎回条款的利率Exotic产品定价

・用作利率外汇，利率股价等混合模型的利率部分的建模

・生成用于CVA等XVA计算的利率Scenarios

等等。