怎么利用正、余弦定理解决与面积有关问题？

2020-08-09 本文已影响0人天马无空

利用正、余弦定理解决与面积有关问题

正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

类型一判断三角形的形状

类型二解三角形中的边和角

类型三解决与面积有关问题

使用情景：三角形中

解题步骤：

第一步主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边；

第二步结合三角形的面积公式直接计算其面积.

【例】在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a=2$ ， $b=\sqrt{7}$ ， $B=60^\circ$ ．

（1）求 $c$ 及 $\triangle ABC$ 的面积；

（2）求 $\sin(2A+C)$ ．

【解析】

（1）由余弦定理有 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ ，

即 $7=4+c^2-2\times 2 \times c\times \dfrac{1}{2}$ ，

$c^2-2c-3=0$ ，解得 $c=3$ 或 $c=-1$ （舍去）；

所以 $\triangle ABC$ 的面积 $S=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}$

（2）由正弦定理有： $\dfrac{\sqrt{7}}{\sin 60^\circ}=\dfrac{2}{\sin A}$ 得 $\sin A=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$ ．

$\because a<b$ ， $B=60^\circ$ ， $\therefore$ 为锐角，则可得 $\cos A=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

$\because 2A+C=(A+C)+A=(180^\circ -B )+A=120^\circ +A$

$\therefore \sin(2A+C)=\sin (120^\circ +A)$

$=\sin 120^\circ \cos A +\cos 120^\circ \sin A$

$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{2\sqrt{7}}{7}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times \dfrac{\sqrt{21}}{7}$

$=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$

【点评】

（1）利用余弦定理求出边长 $c$ 的长，再求三角形面积；

（2）首先由正弦定理可求出 $\sin A=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$ ，进而得到 $\cos A=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$ ，再通过内角和及 $B=60^\circ$ 将角 $2A+C$ 转化为 $120^\circ +A$ ，从而通过两角和的正弦公式求得 $\sin(2A+C)=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$ ．