模度研究｜斐波那契的小白兔数列

模度研究手稿

800年前斐波那契发现了美的数列。

兔子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250）。

1202年，他撰写了《算盘全书》（《Liber Abaci》）一书，该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，介绍了中国的“盈不足术”；引入了负数，并研究了一些简单的一次同余式组。

斐波那契数列如下：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

递归式表达式：

斐波那契的小白兔数列的惊人发现：

斐波那契螺旋：科学家经研究在植物的叶、枝、茎等排列中发现了斐波那契数！例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数1，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那片叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中，叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数植物的叶序比呈现为斐波那契数的比，例如，蓟的头部具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的斐波那契螺旋，向日葵的种子的圈数与子数、菠萝的外部排列同样有着这样的特性，如图所示：

植物花瓣：观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们的花瓣数目为斐波那契数：3，5，8，13，21，…。如图所示：

树木在生长过程中往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔（例如一年）以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数便构成斐波那契数列，这个规律就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

惊人发现：这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样的。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有相近的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤太多的种子而在圆周处却又很稀疏。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5°，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360°之比是黄金分割数0.618的倒数，而这种生长方式就导致了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144。1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列的规律长出花瓣。

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，斐波那契数列前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割比0.618：1÷1 = 1，1÷2 = 0.5，2÷3 = 0.666，…，3÷5 = 0.6，5÷8 = 0.625，…，55÷89 = 0.617977，…，144÷233 = 0.618025，…，46368÷75025 = 0.6180339886……

越到后面，这些比值越接近黄金分割比：

总结斐波那契数列之美：斐波那契数列起源于兔子数列，这个现实中的例子让我们真切地感到数学源于生活，斐波那契通过兔子繁殖来告诉我们这种数学问题的本质，随着数列项的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618时，我彻底被震惊到了，因为数学可以表达美，这是令我们叹为观止的地方。当数学创造了更多的奇迹时，我们会发现数学本质上是可以回归到自然的，这样的事例让我们感受到数学的美，就像黄金分割、斐波那契数列，如同大自然中的一朵朵小花，散发着智慧的芳香……