趣味数学：水池的裂缝在什么位置？

2022-07-05 本文已影响0人易水樵

水池的裂缝在什么位置？

一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管。如果只打开进水管， $50$ 分钟可以把水池灌满；如果只打开出水管， $60$ 分钟可以把一池水放完。现在水池在中间的某个位置出现了一条与池底平行的裂缝，如果只打开进水管，需要 $80$ 分钟才能放满一池水，而只打开出水管，只需要 $46.5$ 分钟即可放完一池水。

请问：裂缝出现在离池底几分之几高度的地方？

【解析】

列方程解应用题，很关键的一点，就是要找到某个「不变量」，或者某一对「相等量」。

在某些问题中，不变量可能不上一个。例如，在著名的牛吃草问题中，草的原始数量、草的生长速度是两个未知量，同时也是不变量。我们将其中之一作为方程的元，再将另外一个作为列方程的不变量。

在本题中，未知量有两个：裂缝漏水的速度、裂缝的高度。
既然题中问到了裂缝的高度，我们就把这个量作为方程的元，而将漏水的速度作为方程的不变量。
裂缝的高度与裂缝的漏水速度如何关联起来呢？就需要用到比例知识。
设水池高度（深度）与裂缝高度的比例为 $1:t$ ；

假设没有裂缝，则可以把灌水过程划分为两个阶段：裂缝下方需要 $(50 \times t)$ 分钟，裂缝上方需要 $50\times(1-t)$ 分钟；
同理，放水过程也可以划分为两个阶段：裂缝上方的时间为 $60(1-t)$ 分钟，而裂缝下方的时间为 $60t$ 分钟；

现在我们提一个问题：水池有裂缝，对于哪个阶段有影响？对哪个阶段没有影响？
回答是：对于裂缝下方的速度和时间没有影响；对于裂缝上方的速度和时间有影响；

裂缝上方的灌水速度变慢了；而放水速度变快了；
具体说来，有裂缝情况下的灌水速度 = 无裂缝的灌水速度 - 漏水速度
有裂缝情况下的放水速度 = 无裂缝的放水速度 + 漏水速度
因为漏水速度是一个不变量，所以以下等式成立：
有裂缝情况下的放水速度 - 无裂缝的放水速度 = 无裂缝的灌水速度 - 有裂缝情况下的灌水速度

有裂缝情况下的放水、灌水速度又如何求出呢？
注意到裂缝下方的时间是不变的，所以，有裂缝时裂缝上方的放水时间为 $(46.5-60t)$ 分钟，有裂缝时裂缝上方的灌水时间为 $(80-50t)$ 分钟，

以漏水速度为「不变量」，可得如下方程：

$\dfrac{1-t}{46.5-60t}-\dfrac{1}{60} = \dfrac{1}{50} - \dfrac{1-t}{80-50t}$

以下进入解方程阶段。

$\dfrac{1-t}{46.5-60t}+ \dfrac{1-t}{80-50t}= \dfrac{1}{60} +\dfrac{1}{50}=\dfrac{11}{300}$

$(1-t)\,(\dfrac{1}{46.5-60t}+ \dfrac{1}{80-50t}) =\dfrac{11}{300}$

$\dfrac{(1-t)(126.5-110t)}{(46.5-60t)(80-50t)}= \dfrac{11}{300}$

$\dfrac{(1-t)\times11\times(11.5-10t)} {(46.5-60t)(80-50t)}= \dfrac{11}{300}$

等式两边同除以 $11$ , 化简：

$\dfrac{(1-t)(11.5-10t)} {(46.5-60t)(80-50t)}= \dfrac{1}{300}$

$300(1-t)(11.5-10t)=(46.5-60t)(80-50t)$

$300(11.5-21.5t+10t^2)=(46.5-60t)(80-50t)$

$1150\times3-2150\times3\times t+ 3000t^2=465\times8-465\times5t-4800t+3000t^2$

等号的左右两边都有 $300\,t^2$ ，所以，这是一个「假二次方程」，显然可以化为一次方程：

$1150\times3-2150\times3\times t=465\times8-465\times5t-4800t$

$1150-2150 t=155\times8-155\times5t-1600t$

最终解得： $t=\dfrac{2}{5}$

裂缝离池底的距离相当于水池深度的 $\dfrac{2}{5}$ .

【提炼与提高】

这是一个优秀的竞赛题。既考思想方法，又考计算能力；既考验智商，又考验情商。
找到某个「不变量」，或者某一对「相等量」。 这是一个基本原则，对所有方程类应用题都适用。就本题而言，在找到不变量之后，还需要熟悉比例的用法。
解方程的过程中，会出现一个二次项，六、七年级还没有学过二次方程的解法，部分学生可能会被 “吓住”，到此止步。
其实，如果胆子够大（见识较多），往下走一步就发现：这是一个假的二次方程，应用等式性质一，可以迅速地化简成一个一次方程。
后面的计算较为复杂，如果采用标准流程（先去括号，合并同类项，再移项），计算量会相当大。本文的解法，用了一些小的技巧，简化计算，读者可以自行体会。

趣味数学：水池的裂缝在什么位置？

水池的裂缝在什么位置？

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