线性代数笔记08

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第八节

求Ax=b的通解

增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 &2 &2 &2 &| &b_1 \\ 2 &4 &6 &8 &| &b_2 \\ 3 &6 &8 &10 &| &b_3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 &2 &2 &2 &| &b_1 \\ 2 &4 &6 &8 &| &b_2 \\ 3 &6 &8 &10 &| &b_3 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &2 &2 &2 &b_1 \\ 0 &0 &2 &4 &b_2-2b_1 \\ 0 &0 &0 &0 &b_3-b_2-b_1 \end{bmatrix}$

满足以下条件，有解：
$b_3=b_1+b_2$

Ax=b 有解，当且仅当b在A的列空间内 b in C(A)

问题：求Ax=b的所有解？

求一个特解：设所有的自由变量为0，解出主元变量，可以得到特解 $x_p$
加上 $x_{nullspace}$
则 $x=x_p+x_n$ 就是Ax=b的通解，其中：
$Ax_p=b\\ Ax_n=0$

秩为r的mxn的矩阵A(m by n matrix A of rank r)
则 $r \leq m,r \leq n$

当 $r=n$ ，列满秩时，则没有自由变量（ $n-r=0$ ），则 $N(A)=0,x=x_p$ ，即如果存在即唯一解
$R=\begin{bmatrix} I\\ 0 \end{bmatrix}$

当 $r=m$ ，行满秩时，则 $Ax=b$ 一定存在，无穷多解
$R=\begin{bmatrix} I&F \end{bmatrix}$

当 $r=m=n$ ，则A可逆， $R=I$

当 $r < m,r < n$ 时，要么无解，要么无穷多解

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第八节

求Ax=b的通解

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