古印度有什么数学成就？

作为四大文明古国的印度，早期拥有数学素养的人几乎都是僧人，或者种姓地位较高的人；而希腊则是人人可学习数学；中国是读书人取得功名后，按照自己的兴趣去学习探索。印度数学家多以天文学为职业，数学成果多半是经验的，很少给出推导和证明。似乎除去希腊人，在历史上的世界范围内都没有将数学独立出来，“为数学而数学”，研究数学本身。

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缘起于宗教

《绳法经》是印度最早的数学文献，其中的数学问题涉及祭坛设计中的几何图案和代数计算，毕达哥拉斯定理的应用，相似图形的性质，以及拉绳测量和基本几何体的面积计算等。比如书中提到的祭坛形状和尺寸的设计法则：不论祭坛是正方形、圆形、还是半圆形，面积必须相等。一直到印度教兴起，数学才逐渐摆脱了宗教的影响，成为天文学的有力工具。在这期间，印度数学就像写命题作文，设计规定形状的祭坛，搞懂一些基本的几何知识和结论；数学知识多半是用文字表达的近似的、经验性的法则。

印度人陈述的毕达哥拉斯定理：“矩形对角线生成的(正方形)面积等于矩形两边各自生成的(正方形)面积之和”。

接下来，亚历山大的东征促进了希腊与印度的交流，印度首先引入了零号和完整的十进制数字，这些印度数字先传入阿拉伯世界，再由阿拉伯传到欧洲；印度数字和十进制计数法被欧洲人普遍接受并改造，在近代科学进步中的意义是不言而喻的。

数学与天文学的不解之缘

印度人的数学从宗教祭坛设计转向天文学，内容主要涉及算术(运算法则)，三角函数、不定方程、低阶方程等等代数问题。印度人使用了数字，引入了负数，讨论了数的运算法则；广泛使用了无理数等等。如数学家阿耶波多给出了连续n个正整数的平方和和立方和的表达式(我把结果做了推广，有兴趣可参考公众号：“究尽中学数学”和“究尽数学”文章)

阿耶波多在印度率先给出了圆周率，但方法不得而知；他还有一项有意义的结果是一次不定方程的求解。

在阿耶波多之后，过100多年出现了婆罗摩笈多，他留下了两部天文学著作《婆罗多修正体系》和《肯达克迪迦》。婆罗摩笈多使用“二次插值法”，制作了正弦函数表，收录在《肯达克迪迦》；而更多的数学内容包含在《婆罗多修正体系》中，其中“算术讲义”和“不定方程讲义”两章主要讨论了三角形、四边形、二次方程、零和负数的算术性质、运算规则，一阶和二阶不定方程。婆罗摩笈多给出了一元二次方程的求根公式，只是一个根；他还给出了四边形的面积公式，(这个公式从形式上看，很像三角形的面积公式——海伦公式)只是他没注意到公式成立的条件是四边形必须内接于圆。成立条件，请参考公众号：“究尽中学数学”和“究尽数学”文章。

在婆罗摩笈多过世后的四个多世纪中，印度未曾出现杰出的数学家，这期间政治动乱、王朝更迭。在拉喜特拉库塔王朝鼎盛时期，出现了一位数学家——马哈维拉，他撰写了印度第一部初具现代形式的教科书《计算精华》，该书和以往不同，是一本纯粹的数学书籍，不包含天文学内容；书中包括了零的运算、二次方程、利率计算、整数性质和排列组合等内容。

接下来，到了12世纪，出现了印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什伽罗。婆什伽罗有两部重要的数学著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》。其中《算法本源》主要探讨了正负数法则、线性方程组、低阶整系数方程求解等代数问题；还给出了毕达哥拉斯定理的两个漂亮证明，其中一个与赵爽的方法相同，另一个是利用相似三角形的性质。

如图所示，在直角三角形ACB中，

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婆什伽罗对数学的主要贡献是：采用缩写文字和符号来表示未知数和运算；熟练掌握了三角函数的和差化积公式；比较全面地讨论了负数，广泛使用了负数。

19世纪后期印度诞生了享誉世界的数学天才拉曼紐扬。纵观印度的数学发展，不难发现印度对数学的要求简单实用，数学家也并不多。和中国相比，有很多相似之处。

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