什么是超平面？

2020-09-21 本文已影响0人一川烟草i蓑衣

低维空间上的对超平面的简单了解

在高中的数学课本，我们应该听过，“点动成线，线动成面，面动成体”。

我们先从低维空间出发，在低维空间中简单理解超平面

在一维空间中，只有一个维度，一维坐标系

$a_{1}x_{1} +b=0$ 1

在一维空间上确定了一个点

点是一维空间上的超平面

在二维空间上，有两个维度，平面直角坐标系

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0$ 2

在二维空间上确定了一条直线

直线是二维空间上的超平面

在三维空间上，有三个维度，三维坐标系

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0$ 3

在三维空间上确定了一个平面

平面是三维空间上的超平面

以此类推到n维空间上

下面我们将给出一个比较系统的论证：

n 维空间中的超平面可以由以下方程给出

(*)

$a_{1}x_{1} +...+a_{n}x_{n}+b=0$ 4

令 w 和 x 都是 n 维列向量，x 是 n 维空间上的点，w 是 n 维空间上的法向量，b 是一个实数，代表原点到超平面的距离，则

$x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^T$ 5 $a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})^T$ 6

(*) 改写为

7

在此，我们从三维空间出发

在三维空间中，平面的定义如下：

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0$ 8

(注：不同地方的平面方程形式会有不同，但都可以化成上述形式，只是系数会有不同，这里为了统一，采用上述形式)

该平面方程是线性的，即由三维空间上点的三个分量的线性组合构成

显而易见，方程数量是 1 。该平面方程是建立在三维空间上的，类推到高维空间上，就有了超平面的概念。值得说的是，在物理学里，据90年代提出的M理论（超弦理论的一种），宇宙是十一维的，由震动的平面构成的。在此，我们不追究高维空间的物理意义，只研究数学概念

前面说过，超平面是平面中的直线，空间中的平面的推广。同时当维度大于3，才可以被称为超平面。

超平面的本质是自由度比空间维度小1，如何理解自由度呢

数学上，自由度是一个随机向量的维度数，也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数。（来自维基百科）

以一种简单的方式来理解吧，自由度是在当前维度空间中的点至少要给定几个分量才能确定它。在文章开头以低维空间的例子中正好说明了该点

超平面 H 是从 n 维空间到 n-1 维空间的一个映射子空间，它有一个n维向量和一个实数定义。（来自于百度百科）

我们依然从三维空间出发

三维空间中点集

满足等式（ I 为一个平面）：

9

(这里对平面方程替换了字母表示，为了后续表示方便)

10

A，B，C均为标量，且至少有一个不为0，不妨设 C 不为0，则

$z=-\frac{A}{C}x-\frac{B}{C}y-\frac{D}{C}$ 11

则

$I(x,y,z)=(x,y,-\frac{A}{C}x-\frac{B}{C}y-\frac{D}{C})=$ 12 $x(1,0,-\frac{A}{C})+y(0,1,-\frac{B}{C})+(0,0,-\frac{D}{C})$ 13

说明该平面过

点，法向量为

$(0,0,-\frac{D}{C})$ 14

15

实际上此处是将 z 替换了，若换成x，y，则该平面还会过

和

$（-\frac{D}{A },0,0)$ 16

，而法向量依然是

$（0,-\frac{D}{B},0)$ 17

在该平面上任取一点

,显然该点和

$（x_{0},y_{0},z_{0}）$

的差向量与法向量

$（0,0,-\frac{D}{C})$

垂直

（平面方程的点法式）（#）

$A(x-0)+B(y-0)+C(x-(-\frac{D}{C}))=0$

可以写成

我们（#）式进行变换，令非零向量

,该空间中有一个点

$p =(0,0,-\frac{D}{C})$

由（#）得到

$(A,B,C)((x,y,z)-(0,0,-\frac{D}{C}))=0$

则在三维空间上，超平面上的点为

，则超平面的方程为

进一步推广到 n 维空间上

给定 n 维空间上一个点

和非零向量

$p=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$

,满足

$a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

点集 i 与点 p 的差向量与 a 向量正交，则称点集 i 为通过点 p 的超平面，向量 a 为通过超平面的法向量

按照该定义，只有当维度大于3才可以成为“超”平面，但是我们仍然可以认为，直线是二维空间内的超平面，平面是三维空间内的超平面。n 空间的超平面是 n 空间内的一个 n - 1 维的仿射子空间

总结

超平面的概念就暂时介绍到这里了，还有很多相关的概念没有叙述，比如点到超平面的距离，如何判断超平面的正反等等

其实，这些概念可以由立体几何的基础知识类推到 n 维空间上

就比如说判断超平面的正反

在二维空间的直线上，判断一个点与一条直线的位置，我们可以将该点带入直线方程中，将与 0 比较，等于0，说明在直线上，大于，小于 0 说明其在直线的左右侧

在三维空间的平面上，也是如此。类推到 n 维空间上，亦是如此！

注：文章中有些概念带有个人的理解，如有错误，请及时指正哦！

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作者：思想永不平凡

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来源：简书

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