支持向量机

《机器学习实战》第六章 支持向量机

2018-12-22  本文已影响50人  大美mixer

支持向量机
优点： 泛化错误率低，计算开销不大，结果易解释。
缺点： 对参数调节和核函数的选择敏感，原始分类器不加修改仅适用于处理二类问题。
适用数据类型： 数值型和标称型数据。

一般流程：
⑴收集数据：可以使用任意方法。
(2)准备数据：需要数值型数据。
(3)分析数据：有助于可视化分隔超平面。
(4)训练算法：SVM的大部分时间都源自训练，该过程主要实现两个参数的调优。
(5)测试算法：十分简单的计算过程就可以实现。
(6)使用算法：几乎所有分类问题都可以使用SVM，值得一提的是，SVM本身是一个二类分类器，对多类问题应用SVM需要对代码做一些修改。

基于最大间隔分隔数据

几个概念：

我们来要试着最大化支持向量到分隔面的距离，需要找到此问题的优化求解方法。

寻找最大间隔

分隔超平面可以写成：
w^Tx + b
点 A 到超平面的距离，即点到超平面的法线长度，为：
\frac{|w^TA + b|}{||w||}

分类器求解的优化问题

输人数据给分类器会输出一个类别标签，即用一个阶跃函数对 w^Tx + b 作用得到f(w^Tx + b). 其中当 u<0 时f(u)输出 -1，反之输出 +1。
为了方便数学上的处理，使用只差一个符号的 -1 和 +1 ，而不是 0 和 1。例如当计算数据点到分隔面的距离并确定分隔面的放置位置时，间隔通过 label*(w^Tx + b)来计算，如果数据点处于正方向（即+1类）并且离分隔超平面很远的位置时，w^Tx + b会是一个很大的正数，同时label*(w^Tx + b)是一个很大的正数。如果数据点处于负方向（-1类）并且离分隔超平面很远的位置时，此时由于类别标签为-1，则label*(w^Tx + b)也会是一个很大的正数。
现在的目标就是找出分类器定义中的 w 和 b，我们必须找到具有最小间隔的数据点，而这些数据点也就是前面提到的支持向量。一旦找到具有最小间隔的数据点，我们就需要对该间隔最大化。即：
arg\max_{w,b}{\{\min_n(label · (w^Tx+b)·\frac{1}{||w||})\}}
用拉格朗日乘子法求解，上式转化为：
\max_\alpha[\sum_{i=1}^m\alpha-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^mlabel^{(i)}·label^{(j)}·a_i·a_j\langlex^{(i)},x^{(j)}\rangle]
s.t.\quad \alpha\geq0,\quad\sum_{i=1}^m\alpha_i·lable^{(i)}=0
此时都基于数据全部线性可分 的基础上。因此引入松弛变量，来允许些数据点可以处于分隔面的错误一侧。此时约束条件变为：
s.t.\quadC\geq\alpha\geq0,\quad\sum_{i=1}^m\alpha_i·lable^{(i)}=0
这里的常数 C 用于控制“最大化间隔”和“保证大部分点的函数间隔小于1.0” 这两个目标的权重。在优化算法的实现代码中，常数0是一个参数，因此我们就可以通过调节该参数得到不同的结果。
一旦求出了所有的\alpha，那么分隔超平面就可以通过这些\alpha来表达。这一结论十分直接，SVM 中的主要工作就是求解这些\alpha。

SMO高效优化算法

SMO表示序列最小优化（SequentialMinimalOptimization )

简化版SMO算法

同时改变两个alpha的原因：
有约束条件：
\sum\alpha_i·label^{(i)}=0
若改变一个alpha，则会不满足该约束条件。

伪代码：

创建一个alpha向量并将其初始化为0向量
当迭代次数小于最大迭代次数时：
    对数据集中的每个数据向量：
        如果该数据向量可以被优化：
            随机选择另外一个数据向量
            同时优化这两个向量
            如果两个向量都不能被优化，退出内循环

预备函数：

from numpy import *
from time import sleep

#加载数据集，得到每行的类标签和整个数据矩阵
def loadDataSet(fileName):
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(float(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

#随机选择一个整数
def selectJrand(i,m):  #1是第一个alpha的下标，m是所有alpha的数目
    j=i #we want to select any J not equal to i
    while (j==i):
        j = int(random.uniform(0,m))
    return j

#调整大于H或小于L的alpha值
def clipAlpha(aj,H,L):
    if aj > H: 
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj

简单版SMO：

def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    #参数分别为：数据集、类别标签、常数C、容错率、最大循环次数
    dataMatrix = mat(dataMatIn); labelMat = mat(classLabels).transpose()
    b = 0; m,n = shape(dataMatrix)
    alphas = mat(zeros((m,1)))  #先将alpha置为0
    iter0 = 0
    while (iter0 < maxIter):
        alphaPairsChanged = 0
        for i in range(m):
            fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b
            Ei = fXi - float(labelMat[i])#if checks if an example violates KKT conditions
            if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
                j = selectJrand(i,m)
                fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
                Ej = fXj - float(labelMat[j])
                alphaIold = alphas[i].copy(); alphaJold = alphas[j].copy();
                if (labelMat[i] != labelMat[j]):
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L==H: print(L==H); continue
                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if eta >= 0: print(eta>=0); continue
                alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)
                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print("j not moving enough"); continue
                alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])#update i by the same amount as j
                                                                        #the update is in the oppostie direction
                b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T
                b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
                else: b = (b1 + b2)/2.0
                alphaPairsChanged += 1
                print(("iter0: %d i:%d, pairs changed %d") % (iter0,i,alphaPairsChanged))
        if (alphaPairsChanged == 0): iter0 += 1
        else: iter0 = 0
        print (("iteration number: %d") % iter0)
    return b,alphas

main.py

import SVM
dataArr, labelArr = SVM.loadDataSet('testSet.txt')

print(labelArr)

b, alphas = SVM.smoSimple(dataArr, labelArr, 0.6, 0.001, 40)
print(b)
print(alphas[alphas>0]) #观察其中大于零的数字

#了解哪些数据点是支持向量
for i in range(100):
    if alphas[i]>0.0 : print(dataArr[i],labelArr[i])

完整的SMO函数

与简单版唯一的不同就是选择alpha的方式。完整版的SMO算法应用了一些能够提速的启发方法。
SMO算法是通过一个外循环来选择第一个alpha值的，并且其选择过程会在两种方式之间进行交替：一种方式是在所有数据集上进行单遍扫描，另一种方式则是在非边界alpha中实现单遍扫描。而所谓非边界3咕化指的就是那些不等于边界0或C的alpha值。对整个数据集的扫描相当容易，而实现非边界alpha值的扫描时，首先需要建立这些alpha值的列表，然后再对这个表进行遍历。同时，该步骤会跳过那些已知的不会改变的alpha值。
预备函数：

def kernelTrans(X, A, kTup): #calc the kernel or transform data to a higher dimensional space
    m,n = shape(X)
    K = mat(zeros((m,1)))
    if kTup[0]=='lin': K = X * A.T   #linear kernel
    elif kTup[0]=='rbf':
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j,:] - A
            K[j] = deltaRow*deltaRow.T
        K = exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #divide in NumPy is element-wise not matrix like Matlab
    else: raise NameError('Houston We Have a Problem -- \
    That Kernel is not recognized')
    return K

class optStruct:
    def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):  # Initialize the structure with the parameters 
        self.X = dataMatIn
        self.labelMat = classLabels
        self.C = C
        self.tol = toler
        self.m = shape(dataMatIn)[0]
        self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
        self.b = 0
        self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) #误差缓存
        self.K = mat(zeros((self.m,self.m)))
        for i in range(self.m):
            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)
        
def calcEk(oS, k):
    fXk = float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek
        
def selectJ(i, oS, Ei):         #内循环中的启发式方法
    maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0
    oS.eCache[i] = [1,Ei]  #set valid #choose the alpha that gives the maximum delta E
    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]
    if (len(validEcacheList)) > 1:
        for k in validEcacheList:   #loop through valid Ecache values and find the one that maximizes delta E
            if k == i: continue #don't calc for i, waste of time
            Ek = calcEk(oS, k)
            deltaE = abs(Ei - Ek)
            if (deltaE > maxDeltaE):
                maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek #选择具有最大的步长j
        return maxK, Ej
    else:   #in this case (first time around) we don't have any valid eCache values
        j = selectJrand(i, oS.m)
        Ej = calcEk(oS, j)
    return j, Ej

#计算误差值并存人缓存当中
def updateEk(oS, k):#after any alpha has changed update the new value in the cache
    Ek = calcEk(oS, k)
    oS.eCache[k] = [1,Ek]

完整的SMO算法：

#优化例程
def innerL(i, oS):
    Ei = calcEk(oS, i)
    if ((oS.labelMat[i]*Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
        j,Ej = selectJ(i, oS, Ei) #this has been changed from selectJrand
        alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L==H: print(L==H); return 0
        eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j] #changed for kernel
        if eta >= 0: print(eta>=0); return 0
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
        updateEk(oS, j) #added this for the Ecache
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print("j not moving enough"); return 0
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])#update i by the same amount as j
        updateEk(oS, i) #added this for the Ecache                    #the update is in the oppostie direction
        b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
        b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
        if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
        elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
        else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
        return 1
    else: return 0

#外循环代码
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter,kTup=('lin', 0)):    #full Platt SMO
    oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler, kTup)
    iter = 0
    entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
    while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:   #go over all
            for i in range(oS.m):        
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print(("fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d") % (iter,i,alphaPairsChanged))
            iter += 1
        else:#go over non-bound (railed) alphas
            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
            for i in nonBoundIs:
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print(("non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d") % (iter,i,alphaPairsChanged))
            iter += 1
        if entireSet: entireSet = False #toggle entire set loop
        elif (alphaPairsChanged == 0): entireSet = True  
        print(("iteration number: %d")% iter)
    return oS.b,oS.alphas

利用计算出的alpha值分类：

#计算w
def calcWs(alphas,dataArr,classLabels):
    X = mat(dataArr); labelMat = mat(classLabels).transpose()
    m,n = shape(X)
    w = zeros((n,1))
    for i in range(m):
        w += multiply(alphas[i]*labelMat[i],X[i,:].T)
    return w

main.py

ws = SVM.calcWs(alphas, dataArr, labelArr)
print(ws)

output:

[[ 0.65307162]
 [-0.17196128]]

现在对数据进行分类处理，比如对说第一个数据点分类，在main.py中加入：

datMat = mat(dataArr)
print(datMat[0]*mat(ws)+b)

如果该值大于0，8卩么其属于1类；如果该值小于0，那么则属于-1类。

核函数

作用：将数据映射到高维空间
常用核函数：径向基函数

径向基函数

一个采用向量作为自变量的函数，能够给予向量距离运算输出一个标量。
高斯版本：

k(x,y)=exp(\frac{-||x-y||^2}{2\sigma^2})
其中，\sigma是用户定义的用于确定到达率，即函数值跌落到0的速度参数。

在训练中使用函数

核转换函数：

def kernelTrans(X, A, kTup): #calc the kernel or transform data to a higher dimensional space
    m,n = shape(X)
    K = mat(zeros((m,1)))
    if kTup[0]=='lin': K = X * A.T   #linear kernel
    elif kTup[0]=='rbf':
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j,:] - A
            K[j] = deltaRow*deltaRow.T
        K = exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #divide in NumPy is element-wise not matrix like Matlab
    else: raise NameError('Houston We Have a Problem -- \
    That Kernel is not recognized')
    return K

class optStruct:
    def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):  # Initialize the structure with the parameters 
        self.X = dataMatIn
        self.labelMat = classLabels
        self.C = C
        self.tol = toler
        self.m = shape(dataMatIn)[0]
        self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
        self.b = 0
        self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) #误差缓存
        self.K = mat(zeros((self.m,self.m)))
        for i in range(self.m):
            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)

在测试中使用函数

def testRbf(k1=1.3):
    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt')
    b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, ('rbf', k1)) #C=200 important
    datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()
    svInd=nonzero(alphas.A>0)[0]
    sVs=datMat[svInd] #get matrix of only support vectors
    labelSV = labelMat[svInd];
    print(there are %d Support Vectors)% shape(sVs)[0]
    m,n = shape(datMat)
    errorCount = 0
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1))
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1
    print(the training error rate is: %f)% (float(errorCount)/m)
    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt')
    errorCount = 0
    datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()
    m,n = shape(datMat)
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1))
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1    
    print(the test error rate is: %f)% (float(errorCount)/m)

支持向量的数目存在一个最优值。8乂厘的优点在于它能对数据进行高效分类。如果支持向量太少，就可能会得到一个很差的决策边界（下个例子会说明这一点）；如果支持向量太多，也就相当于每次都利用整个数据集进行分类，这种分类方法称为k近邻。

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