4. 寻找两个有序数组的中位数

寻找两个有序数组的中位数

分析

已知两个有序数组，找到两个数组合并后的中位数。

解法一

简单粗暴，先将两个数组合并，两个有序数组的合并也是归并排序中的一部分。然后根据奇数，还是偶数，返回中位数。

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
    int[] nums;
    int m = nums1.length;
    int n = nums2.length;
    nums = new int[m + n];
    if (m == 0) {
        if (n % 2 == 0) {
            return (nums2[n / 2 - 1] + nums2[n / 2]) / 2.0;
        } else {

            return nums2[n / 2];
        }
    }
    if (n == 0) {
        if (m % 2 == 0) {
            return (nums1[m / 2 - 1] + nums1[m / 2]) / 2.0;
        } else {
            return nums1[m / 2];
        }
    }

    int count = 0;
    int i = 0, j = 0;
    // 拼接为一个有序数组
    while (count != (m + n)) {
        // 已遍历完一个数组，另一个数组直接拼接即可
        if (i == m) {
            while (j != n) {
                nums[count++] = nums2[j++];
            }
            break;
        }
        if (j == n) {
            while (i != m) {
                nums[count++] = nums1[i++];
            }
            break;
        }

        if (nums1[i] < nums2[j]) {
            nums[count++] = nums1[i++];
        } else {
            nums[count++] = nums2[j++];
        }
    }

    if (count % 2 == 0) {
        return (nums[count / 2 - 1] + nums[count / 2]) / 2.0;
    } else {
        return nums[count / 2];
    }
}

时间复杂度：遍历全部数组，

空间复杂度：开辟了一个数组，保存合并后的两个数组，

解法二

其实，我们不需要将两个数组真的合并，我们只需要找到中位数在哪里就可以了。

开始的思路是写一个循环，然后里边判断是否到了中位数的位置，到了就返回结果，但这里对偶数和奇数的分类会很麻烦。当其中一个数组遍历完后，出了 for 循环对边界的判断也会分几种情况。总体来说，虽然复杂度不影响，但代码会看起来很乱。

首先是怎么将奇数和偶数的情况合并一下。

用 len 表示合并后数组的长度，如果是奇数，我们需要知道第 (len + 1)/ 2 个数就可以了，如果遍历的话需要遍历 int (len / 2) + 1 次。如果是偶数，我们需要知道第 len / 2 和 len / 2 + 1 个数，也是需要遍历 len / 2 + 1 次。所以遍历的话，奇数和偶数都是 len / 2 + 1 次。

返回中位数的话，奇数需要最后一次遍历的结果就可以了，偶数需要最后一次和上一次遍历的结果。所以我们用两个变量 left 和 right ，right 保存当前循环的结果，在每次循环前将 right 的值赋给 left 。这样在最后一次循环的时候，left 将得到 right 的值，也就是上一次循环的结果，接下来 right 更新为最后一次的结果。

循环中该怎么写，什么时候 A 数组后移，什么时候 B 数组后移。用 aStart 和 bStart 分别表示当前指向 A 数组和 B 数组的位置。如果 aStart 还没有到最后并且此时 A 位置的数字小于 B 位置的数组，那么就可以后移了。也就是 aStart ＜ m && A[aStart]< B[bStart]。

但如果 B 数组此刻已经没有数字了，继续取数字 B[bStart]，则会越界，所以判断下 bStart 是否大于数组长度了，这样 || 后边的就不会执行了，也就不会导致错误了，所以增加为 aStart ＜ m && ( bStart >= n || A[aStart]< B[bStart]) 。

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
    int m = nums1.length;
    int n = nums2.length;
    int len = m + n;
    int left = -1, right = -1;
    int aStart = 0, bStart = 0;
    // 数组下标从 0 开始，所以遍历到 i= len/2 即可
    for (int i = 0; i <= len / 2; i++) {
        left = right;
        if (aStart < m && (bStart >= n || nums1[aStart] < nums2[bStart])) {
            right = nums1[aStart++];
        } else {
            right = nums2[bStart++];
        }
    }

    if ((len & 1) == 0)
        return (left + right) / 2.0;
    else
        return right;
}

时间复杂度：遍历 len / 2 + 1 次，len = m + n ，所以时间复杂度依旧是 。

空间复杂度：我们申请了常数个变量，也就是 m，n，len，left，right，aStart，bStart 以及 i。

总共 8 个变量，所以空间复杂度是 。

解法三

上边的两种思路，时间复杂度都达不到题目的要求 。看到 log，很明显，我们只有用到二分的方法才能达到。我们不妨用另一种思路，题目是求中位数，其实就是求第 k 小数的一种特殊情况，而求第 k 小数有一种算法。

解法二中，我们一次遍历就相当于去掉不可能是中位数的一个值，也就是一个一个排除。由于数列是有序的，其实我们完全可以一半儿一半儿的排除。假设我们要找第 k 小数，我们可以每次循环排除掉 k / 2 个数。看下边一个例子。

假设我们要找第 7 小的数字。

mid1.jpg

我们比较两个数组的第 k / 2 个数字，如果 k 是奇数，向下取整。也就是比较第 3 个数字，上边数组中的 4 和 下边数组中的 3 ，如果哪个小，就表明该数组的前 k / 2 个数字都不是第 k 小数字，所以可以排除。也就是 1，2，3 这三个数字不可能是第 7 小的数字，我们可以把它排除掉。将 1349 和 45678910 两个数组作为新的数组进行比较。

更一般的情况 A [ 1 ]，A [ 2 ]，A [ 3 ]，A [ k / 2] ... ，B[ 1 ]，B [ 2 ]，B [ 3 ]，B[ k / 2] ... ，如果 A [ k / 2 ] < B [ k / 2 ] ，那么 A [ 1 ]，A [ 2 ]，A [ 3 ]，A [ k / 2] 都不可能是第 k 小的数字。

A 数组中比 A [ k / 2 ] 小的数有 k / 2 - 1 个，B 数组中，B [ k / 2 ] 比 A [ k / 2 ] 大，假设 B [ k / 2 ] 前边的数字都比 A [ k / 2 ] 小，也只有 k / 2 - 1 个，所以比 A [ k / 2 ] 小的数字最多有 k / 2 - 1 + k / 2 - 1 = k - 2 个，所以 A [ k / 2 ] 最多是第 k - 1 小的数。而比 A [ k / 2 ] 小的数更不可能是第 k 小的数了，所以可以把它们排除。

橙色的部分表示已经去掉的数字。

mid2.jpg

由于我们已经排除掉了 3 个数字，就是这 3 个数字一定在最前边，所以在两个新数组中，我们只需要找第 7 - 3 = 4 小的数字就可以了，也就是 k = 4 。此时两个数组，比较第 2 个数字，3 < 5，所以我们可以把小的那个数组中的 1 ，3 排除掉了。

mid3.jpg

我们又排除掉 2 个数字，所以现在找第 4 - 2 = 2 小的数字就可以了。此时比较两个数组中的第 k / 2 = 1 个数，4 == 4 ，怎么办呢？由于两个数相等，所以我们无论去掉哪个数组中的都行，因为去掉 1 个总会保留 1 个的，所以没有影响。为了统一，我们就假设 4 > 4 吧，所以此时将下边的 4 去掉。

mid4.jpg

由于又去掉 1 个数字，此时我们要找第 1 小的数字，所以只需判断两个数组中第一个数字哪个小就可以了，也就是 4 。

所以第 7 小的数字是 4 。

我们每次都是取 k / 2 的数进行比较，有时候可能会遇到数组长度小于 k / 2 的时候。

mid5.jpg

此时 k / 2 等于 3 ，而上边的数组长度是 2 ，我们此时将箭头指向它的末尾就可以了。这样的话，由于 2 < 3 ，所以就会导致上边的数组 1，2 都被排除。造成下边的情况。

mid6.jpg

由于 2 个元素被排除，所以此时 k = 5 ，又由于上边的数组已经空了，我们只需要返回下边的数组的第 5 个数字就可以了。

从上边可以看到，无论是找第奇数个还是第偶数个数字，对我们的算法并没有影响，而且在算法进行中，k 的值都有可能从奇数变为偶数，最终都会变为 1 或者由于一个数组空了，直接返回结果。

所以我们采用递归的思路，为了防止数组长度小于 k / 2 ，所以每次比较 min ( k / 2，len ( 数组 ) ) 对应的数字，把小的那个对应的数组的数字排除，将两个新数组进入递归，并且 k 要减去排除的数字的个数。递归出口就是当 k = 1 或者其中一个数字长度是 0 了。

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
    int n = nums1.length;
    int m = nums2.length;
    int left = (n + m + 1) / 2;
    int right = (n + m + 2) / 2;
    // 将偶数和奇数的情况合并，如果是奇数，会求两次同样的 k 。
    return (getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, left) + getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, right)) * 0.5;
}

private int getKth(int[] nums1, int start1, int end1, int[] nums2, int start2, int end2, int k) {
    int len1 = end1 - start1 + 1;
    int len2 = end2 - start2 + 1;
    // 让 len1 的长度小于 len2，这样就能保证如果有数组空了，一定是 len1
    if (len1 > len2) return getKth(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, k);
    if (len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];

    // 边界条件，求最小值
    if (k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);

    int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
    int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;

    if (nums1[i] > nums2[j]) {
        return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1));
    } else {
        return getKth(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1));
    }
}

时间复杂度：每进行一次循环，我们就减少 k / 2 个元素，所以时间复杂度是 ，而 k = (m + n)/ 2，所以最终的复杂也就是 。

空间复杂度：虽然我们用到了递归，但是可以看到这个递归属于尾递归，所以编译器不需要不停地堆栈，所以空间复杂度为 。

解法四

没看懂 TODO