概率空间与随机变量的概念

中学阶段的概率的概念，无法满足后续学习的要求，因此必须从测度论角度重新定义概率。本文整理了一些相关概念。

1 概率的公理化定义

定义 概率空间（probability space）：三元参数组定义了一个概率空间。

其中是样本空间，即一个随机试验的所有可能结果，是样本空间的子集的集合，称为-域（-field），是概率函数。

定义 -field：样本空间的子集的集合要成为-field，必须要满足：

• ;
• 若，则；
• 若，则。

其中是样本空间的某个子集，又叫事件。

定义 概率：定义在上的实函数被称为概率或概率测度，它必须满足

• 对于一切都有;
• ；
• 若两两互斥，即对于任意都有，则。

以上这三条性质，也叫概率公理（axioms of probability）。在现代概率论中，所谓概率就是满足这三条公理的函数。

2 随机变量的定义

对于随机试验来说，与其对概率空间上的原始概率结构进行分析，不如先对概率结构进行归纳，归纳成随机变量，再对随机变量进行分析。

定义 随机变量：随机变量，是样本空间到实轴的一个可测函数。

是可测度的，即对任意，都有。

接下来定义随机变量的分布。

定义 分布：随机变量的分布是在上诱导（induced）生成的概率测度，用公式表达为，对于任意，都有

因此，在没有歧义的时候，可以简写为。很容易可以证明，也是一个概率测度。

定义 累积分布函数：的累积分布函数（cdf）定义为

其中。

当推广为多维随机向量时，就是表示从样本空间到的函数。