1. 霍夫空间和霍夫变换

1.1 霍夫空间

霍夫空间(Hough space)是一种用于图像分析的特征空间，用于描述图像中具有相同形状的线段或曲线。

霍夫空间是指将图像空间中的点映射到参数空间后形成的空间。参数空间的维度由形状的描述参数的个数决定。例如，对于直线检测，参数空间的维度为 2，其中一个维度表示直线的斜率，另一个维度表示直线的截距。对于圆检测，参数空间的维度为 3，这三个参数分别是圆心坐标和圆的半径。

霍夫空间具有以下特性：

• 霍夫空间的维度等于直线或曲线的特征参数的个数。
• 霍夫空间中的每个点都对应于图像空间中的一条特征线。
• 霍夫空间中的点的值表示该特征线在图像空间中的出现频率。

1.2 霍夫变换

霍夫变换(Hough transform)是一种基于霍夫空间的图像特征提取算法。它可以用于检测图像中的直线、圆形、椭圆等形状。

霍夫变换具有以下优点：

• 速度快，适合处理大尺寸的图像。
• 可以检测任意形状的图像。

霍夫变换也具有以下缺点：

• 对图像噪声敏感。
• 容易受到干扰。

霍夫变换的步骤：

• 对图像进行预处理，提取边缘点。
• 将边缘点映射到霍夫空间中。
• 在霍夫空间中计算累加函数。
• 根据累加函数的值来检测图像中的形状。

2. 霍夫直线检测

2.1 直线检测的霍夫空间

在图像空间中，直线可以用 y = mx+b 表示，其中 m 是直线的斜率，b 是直线的截距。

在参数空间中，直线可以用 (m,b) 表示，其中 m 是直线的斜率，b 是直线的截距。

图像空间中的每条直线在参数空间中都对应着单独一个点来表示。
图像空间中的直线上任何一部分线段在参数空间对应的是同一个点。

将图像空间中的直线映射到参数空间中的点，其中 θ 是直线的倾斜角，r 是直线与原点的距离。

图像空间中的点.PNG

r 所在的直线跟直线 y = mx + b 的交点可得

由于

所以，

这样，图像空间(直角坐标系x-y)的一个点在参数空间(极坐标系𝜌-𝜃)中就对应为一条曲线。

其中：(x,y) 表示线上点的坐标，𝜌 表示线距原点的距离，𝜃 表示线与 x 轴的方向。

图像空间映射到参数空间.png

图像空间的一个点在参数空间中就对应为一条曲线 ρ = xcos(θ) + ysin(θ)，而参数空间的每个点 (θ, ρ) 都对应了图像空间的一条直线。

霍夫变换默认使用极坐标系来检测图像中的线，因为笛卡尔坐标系中线的斜率范围无限大，导致计算量较高。

2.2 投票机制

在霍夫直线检测中，有一个重要的投票机制，它的过程如下：

• 边缘检测：使用边缘检测算法识别图像中的边缘像素。
• 参数空间映射：每个边缘点为其可能所属的参数空间(霍夫空间)中的每条潜在线“投票”。 投票的位置取决于线的角度 (θ) 和距原点的距离 (ρ)。
• 累加器数组：在霍夫空间中，每当边缘像素符合该线参数化时，对应于特定 (θ, ρ) 组合的每个单元都会收到投票。投票被累加在累加器数组中。
• 峰值检测：迭代所有边缘像素后，分析累加器数组以查找具有最高投票计数(峰值)的单元格。 这些峰值代表由最多数量的边缘点支持的线，并且被认为是图像中最可能出现的线。
• 线参数提取：最后利用峰值的(θ，ρ)值重建原始图像空间中的直线方程，提供最终检测到的线。

投票机制好处在于：

• 对噪声和部分遮挡的鲁棒性
• 能够同时检测多条直线
• 基于边缘高效识别直线

总体而言，投票机制是霍夫直线检测的核心优势，使其能够有效地从噪声和复杂图像中识别直线。

2.3 例子

下面的例子，通过 Canny 查找提取图像的边缘，然后映射到霍夫空间进行直线检测，最后绘制找到的直线。

#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"

using namespace std;
using namespace cv;

int main(int argc, char **argv) {
    Mat src = imread(".../country_road.jpg");
    imshow("src", src);

    Mat gray;
    cvtColor(src, gray, cv::COLOR_BGR2GRAY);

    GaussianBlur(gray,gray,Size(7,7),0);

    Mat edge;
    Canny(gray,edge,100,300,3);
    imshow("edge", edge);

    std::vector<Vec4f> lines;
    cv::HoughLinesP(edge, lines, 1, CV_PI / 180.0, 80, 50, 5);
    cv::Scalar color = cv::Scalar(0, 0, 255);
    for(size_t i = 0; i < lines.size(); i++){
        line(src, cv::Point(lines[i][0], lines[i][1]), cv::Point(lines[i][2], lines[i][3]), color, 8, cv::LINE_AA);
    }
    imshow("result", src);

    waitKey(0);
    return 0;
}

公路的原图.png 通过canny提取公路的边缘.png 标记公路中的直线.png

HoughLinesP() 函数是基于累积概率霍夫变换(PPHT)的一种实现。PPHT 算法比标准霍夫变换算法更准确，但也更耗时。

void HoughLinesP( InputArray image, OutputArray lines,
                               double rho, double theta, int threshold,
                               double minLineLength = 0, double maxLineGap = 0 );

第一个参数 image：输入图像，必须是单通道的灰度图像或二值图像。
第二个参数 lines：输出数组，其中存储检测到的直线。每个直线由四个元素的向量表示，分别为直线的起点 (x1, y1)、终点 (x2, y2)。
第三个参数 rho：参数空间中 ρ 的范围。
第四个参数 theta：参数空间中 θ 的范围。
第五个参数 threshold：累加器中用于判定线段是否有效的阈值。
第六个参数 minLineLength：线段的最小长度。
第七个参数 maxLineGap：线段之间的最大间隔。

HoughLinesP() 函数对噪声敏感，因此在使用前应对图像进行降噪处理。

下面的例子，同样是基于 Canny 查找图像的边缘，然后进行直线检测。

#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"

using namespace std;
using namespace cv;

int main(int argc, char **argv) {
    Mat src = imread(".../paper.jpg");
    imshow("src", src);

    Mat gray;
    cvtColor(src, gray, cv::COLOR_BGR2GRAY);

    Mat edge;
    Canny(gray,edge,40,80,3);
    imshow("edge", edge);

    std::vector<Vec4f> lines;
    cv::HoughLinesP(edge, lines, 1, CV_PI / 180.0, 20, 100, 30);
    cv::Scalar color = cv::Scalar(0, 0, 255);
    for(size_t i = 0; i < lines.size(); i++){
        line(src, cv::Point(lines[i][0], lines[i][1]), cv::Point(lines[i][2], lines[i][3]), color, 8, cv::LINE_AA);
    }
    imshow("result", src);

    waitKey(0);
    return 0;
}

paper原图.png 标记paper中的直线.png

HoughLinesP() 函数在使用时，需要注意的是：

• threshold：投票阈值，阈值越高，检测到的直线越少。
• minLineLength：直线的最小长度，小于此值的直线将被拒绝。minLineLength 越大，检测到的直线越长。
• maxLineGap：最大允许的直线间距，以使它们被视为单一线段。maxLineGap 越大，检测到的直线越可能被视为单一线段。

3. 总结

霍夫直线检测是图像处理中用于检测图像中直线的一种常用方法。
可以检测出图像中任意方向的直线，包括水平直线、垂直直线以及斜直线。也可以检测出图像中多条直线，即使这些直线重叠或被遮挡。它是一种简单而有效的图像处理方法，在许多应用中得到了广泛的应用。