03-GBDT
1. GBDT概述
GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost，我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。
在GBDT的迭代中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是
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，损失函数
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是我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器
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，让本轮的损失函数
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最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。
GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释，假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。
从上面的例子看这个思想还是蛮简单的，但是有个问题是这个损失的拟合不好度量，损失函数各种各样，怎么找到一种通用的拟合方法呢？
2. GBDT的负梯度拟合
上一节中我们介绍了GBDT的基本思路，但是没有解决损失函数拟合方法的的问题。针对这个问题，大牛Freidman提出用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个cart树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为：
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利用（xi,rti）（i= 1,2,3,...,m）,我们可以拟合一颗cart回归树，得到了第t颗回归树，其对应的叶子节点区域Rtj，j = 1,2,3,....,J。其中J为叶子节点的个数。
针对每个叶子结点里的样本，我们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的输出值ctj 如下：
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这样我们就得到本轮的决策树拟合函数如下：
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从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下：
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通过损失函数的负梯度来拟合，我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法，这样无论是分类问题还是回归问题，我们通过其损失函数的如梯度的拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。
3. GBDT回归算法
有了上面的思路，下面我们总结下GBDT的回归算法。为什么没有加上分类算法一起呢？？那是因为分类算法的输出是不连续的类别值，需要处理才能使用负梯度，我们将在下一节中讲解。
输入时训练样本集
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最大迭代次数T，损失函数L。
输出是强学习器：f（x）
-
初始化弱分类器：
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如何求最小的c???
- 首先对损失函数求导，然后令倒数等于0，其实c = 样本标签值的均值
- 计算yi 与 c的差值，记作残差，把残差作为样本标签
- 对迭代轮数t=1,2,...,T有：
（a）、对每一个样本i = 1,2,3,...,N,计算负梯度
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（b）将上步得到的残差作为样本新的真实值，并将数据作为下棵树的训练数据，得到一颗新的回归树
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其对应的叶子节点区域为Rjt，j = 1,2,3,..,J。其中J为回归树t的叶子节点的个数。
（c）对叶子区域j=1,2,3,...,J,计算最佳拟合值
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（d）更新强学习器
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-
得到强学习器f(x)的表达式：
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4. GBDT分类算法
这里再看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有什么区别，但是由于样本输出不是连续值，而是离散的类别，导致无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。
为了解决这个问题，主要有两种方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种是类似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法，也就是说，我们用的类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，我们又有二元分类和多元分类的区别。
4.1 二元GBDT分类算法
对于二元GBDT，如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：
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其中y∈{-1,1}。则此时的负梯度误差为：
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对于生成的决策树，我们个各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为：
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由于上式比较难优化，我们一般用近似值代替：
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除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程形同。
4.2 多元GBDT分类算法
多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数k，则此时我们的对数似然损失函数为：
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其中如果样本输出类别为k，则yk = 1。则第k类样本的概率pk(x).的表达式为：
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结合上述两式，我们可以计算出第t轮的第i个样本对应的类别l的负梯度误差为：
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观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本i对应类别的l的真是概率和t-1轮预测概率的差值。
对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为：
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由于上式比较难优化，我们一般采用近似值代替：
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除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同
5.GBDT小结
GBDT终于讲完了，GDBT本身并不复杂，不过要吃透的话需要对集成学习的原理，决策树原理和各种损失函树有一定的了解。由于GBDT的卓越性能，只要是研究机器学习都应该掌握这个算法，包括背后的原理和应用调参方法。目前GBDT的算法比较好的库是xgboost。当然scikit-learn也可以。
最后总结下GBDT的优缺点。
GBDT主要的优点有：
1）、可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。
2）、在相对少的调参时间情况下，预测准确率比较高。这是相对SVM来说的
3）、使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性很强。
GBDT主要的缺点：
1）、由于弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBDT来达到部分并行。。
