趣味数学：6个人年龄的平方和是2796

2022-07-12 本文已影响0人易水樵

红星小学围棋兴趣小组有 4 位小朋友和 2 位教练，4 位小朋友依次相差 2 岁，2 位教练相岁差 2 岁，6 个人年龄的平方和是 2796岁，6 个人年龄之和是多少？

【解析】

小学生的年龄在 $6\sim12$ 岁之间，因此，这4位小朋友的年龄应为： $6,8,10,12$ , 其平方和等于：

$6^2+8^2+10^2+12^2=344$

$2796-344=2452$

设两位教练的年龄平均值为 $x$ ，则两人年龄分别为 $(x-1),(x+1)$ 岁,

$(x-1)^2+(x+1)^2=2x^2+2=2452$

$x^2=1225=25\times49=(5\times7)^2$

$x=35$

6个人的年龄之和等于：

$6+8+10+12+2\times35=106$ （岁）

【提炼与提高】

解答本题的关键在于：

1）小学生的年龄在 $6\sim12$ 岁之间，这是常识，也是本题的一个隐含条件；

2）本题用到了以下公式：

$(x-1)^2+(x+1)^2=2x^2+2$

该公式是初中数学的教学内容，五六年级的相当一部分数学资优生已经掌握该公式，可以认为是「过渡性知识」。

该公式的更一般的形式如下：

$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2$

在高考数学中，这是一个常用公式。

本题难度不高而且有趣，是一个优秀的竞赛题。

最后提出笔者的一点看法：

6 个人年龄的平方和是 2796岁

原题中这种描述方式不好，建议把岁字去掉，直接这样说：6 个人年龄的平方和是 2796.