数学分析理论基础2：数集与确界原理

2018-12-09 本文已影响25人溺于恐

数集与确界原理

区间与邻域

区间

$设a,b\in R,a\lt b$

$区间\begin{cases}有限区间\begin{cases}开区间：\{x|a\lt x\lt b\},记作(a,b)\\ 闭区间：\{x|a\le x\le b\},记作[a,b]\\ 半开半闭区间：\{x|a\le x\lt b\}和\{x|a\lt x\le b\},记作[a,b)和(a,b]\end{cases}\\ 无限区间\begin{cases}[a,+\infty)=\{x|x\ge a\}\\ (-\infty,a]=\{x|x\le a\}\\ (a,+\infty)=\{x|x\gt a\}\\ (-\infty,a)=\{x|x\lt a\}\\ (-\infty,+\infty)=\{x|-\infty\lt a\lt +\infty\}=R\end{cases}\end{cases}$

邻域

$设a\in R,\delta\gt 0$

$点a的\delta邻域：$

$满足|x-a|\lt \delta 的全体实数x的集合,记作U(a;\delta),简写作U(a)$

$即U(a;\delta)=\{x||x-a|\lt \delta\}=(a-\delta,a+\delta)$

$点a的空心\delta 邻域：$

$U^\circ (a;\delta)=\{x|0\lt |x-a|\lt \delta\},简写作U^\circ (a)$

$点a的\delta右邻域：$

$U_+(a;\delta)=[a,a+\delta),简写作U_+(a)$

$点a的\delta左邻域：$

$U_-(a;\delta)=(a-\delta,a],简写作U_-(a)$

$\infty邻域U(\infty)=\{x||x|\gt M\}$

$+\infty 邻域U(+\infty)=\{x|x\gt M\}$

$-\infty邻域U(-\infty)=\{x|x\lt -M\}$

有界集与确界原理

有界集

上界与下界定义：

$设S\subset R,\exists M(L),使\forall x\in S,有x\le M(x\ge L),$

$则称S为有上界(下界)的数集,M(L)称为S的一个上界(下界)$

有界集定义：

$若S既有上界又有下界,则称S为有界集,$

$若S不是有界集,则称S为无界集$

注：任何有限区间都是有界集,无限区间都是无界集,由有限个数组成的数集是有界集

上确界定义：

$设S\subset R,若\eta满足：$

$(1)\forall x\in S,有x\le \eta,即\eta 是S的上界$

$(2)\forall \alpha\lt \eta,\exists x_0\in S,使x_0\gt \alpha,即\eta是S的最小上界$

$则称\eta 为S的上确界,记作\eta=supS$

下确界定义：

$设S\subset R,若\xi满足：$

$(1)\forall x\in S,有x\ge \xi,即\xi 是S的下界$

$(2)\forall \beta\gt \xi,\exists x_0\in S,使x_0\lt \beta,即\xi是S的最大下界$

$则称\xi 为S的下确界,记作\xi=infS$

注： $S存在上(下)确界,则一定是唯一的$

$S存在上、下确界,则infS\le supS$

$S的确界可能属于S,也可能不属于S$

例： $设数集S有上确界,证明：\eta=supS\in S\Leftrightarrow \eta=maxS$

证：

$必要性$

$设\eta=supS\in S,则$

$\forall x\in S,有x\le \eta,$

$\because \eta\in S,$

$\therefore \eta=maxS$

$充分性$

$设\eta=maxS,则\eta \in S,$

$下证\eta=supS$

$(1)\forall x\in S,有x\le \eta,即\eta 是S的上界$

$(2)\forall \alpha\lt \eta,取x_0=\eta\in S,则x_0\gt \alpha,$

$\therefore \eta=supS\qquad \mathcal{Q.E.D}$

确界原理

设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界.

证明：

$不妨设S含非负数$

$\because S有上界$

$\therefore \exists n\in N,使得$

$(1)\forall x\in S,有x\lt n+1$

$(2)\exists a_0\in S,使a_0\ge n$

$对[n,n+1)作10等分,分点为n.1,n.2,\cdots,n.9$

$则存在 0,1,2,\cdots,9中的一个数n_1,使得$

$(1)\forall x\in S,有x\lt n.n_1+\frac{1}{10}$

$(2)\exists a_1\in S,使a_1\ge n.n_1$

$再对[n.n_1,n.n_1+\frac{1}{10})作10等分$

$则存在 0,1,2,\cdots,9中的一个数n_2,使得$

$(1)\forall x\in S,有x\lt n.n_1n_2+\frac{1}{10^2}$

$(2)\exists a_2\in S,使a_2\ge n.n_1n_2$

$连续不断地10等分前一步得到的区间,可知$

$\forall k=1,2,\cdots,存在0,1,2,\cdots,9中的一个数n_k,使得$

$(1)\forall x\in S,有x\lt n.n_1n_2\cdots n_k+\frac{1}{10^k}\qquad ①$

$(2)\exists a_k\in S,使a_k\ge n.n_1n_2\cdots n_k$

$将上述步骤无限地进行下去,得实数\eta=n.n_1n_2\cdots n_k\cdots$

$下证\eta=supS$

$即证：$

$\mathrm{(i)}\forall x\in S,有x\le \eta$

$\mathrm{(ii)}\forall \alpha\lt\eta,\exists a'\in S使\alpha\lt a'$

$假设\mathrm{(i)}不成立,即\exists x\in S,使x\gt \eta$

$则\exists x的k位不足近似x_k,使得$

$x_k\gt \bar{\eta_k}=n.n_1n_2\cdots n_k+\frac{1}{10^k}$

$\therefore x\gt n.n_1n_2\cdots n_k+\frac{1}{10^k},与不等式①矛盾,\qquad \mathrm{(i)}得证$

$设\alpha \lt \eta,则\exists\eta的k位不足近似\eta_k\gt\bar{a_k}$

$即n.n_1n_2\cdots n_k\gt\bar{a_k}$

$由\eta的构造知,\exists a'\in S,使a'\ge \eta_k$

$\therefore a'\ge \eta_k\gt\bar{a_k}\ge\alpha$

$\therefore \alpha \lt a',\qquad\mathrm{(ii)}得证$

$下确界同理可证\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：设A,B为非空数集,满足： $\forall x\in A,y\in B,有x\le y,$ 证明：A有上确界,B有下确界,且 $supA\le infB$

证：

$B中任一y都为A的上界,故A有上确界$

$A中任一x都为B的下界,故B有下确界$

$下证supA\le infB$

$\forall y\in B,y为A的一个上界,$

$\therefore supA\le y$

$\therefore supA为B的一个下界$

$\therefore supA\le infB\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：设A,B为非空有界数集, $S=A\cup B$ ,证明：

$\mathrm{(i)}supS=max\{supA,supB\}$

$\mathrm{(ii)}infS=min\{infA,infB\}$

证：

$\mathrm{(i)}\forall x\in S,$

$x\in A或x\in B\Rightarrow x\le supA或x\le supB$

$\therefore x\le max\{supA,supB\}$

$\therefore supS\le max\{supA,supB\}$

$另一方面$

$\forall x\in A,$

$x\in S\Rightarrow x\le supS$

$\therefore supA\le supS$

$同理可得$

$supB\le supS$

$\therefore supS\ge max\{supA,supB\}$

$综上所述$

$supS=max\{supA,supB\}$

$\mathrm{(ii)}同理可证,\qquad \mathcal{Q.E.D}$

推广的确界原理

$若S无上界,定义+\infty为S的非正常上确界,记作supS=+\infty$

$若S无下界,定义-\infty为S的非正常下确界,记作infS=-\infty$

定理：

$任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的)$

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