高中数学纲目

函数与导数大题：2019年理数全国卷A题20

2022-05-18 本文已影响0人易水樵

2019年理数全国卷A题20

已知函数 $f(x)=\sin x - \ \ln(1+x)$ , $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导数，证明：

（1） $f'(x)$ 在区间 $(-1, \dfrac{\pi}{2})$ 存在唯一极大值点；

（2） $f(x)$ 有且仅有 2 个零点.

【解答问题1】

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty)$ .

$f'(x) = \cos x - \dfrac{1}{1+x}$

$f''(x) = - \sin x + \dfrac{1}{(1+x)^2}$

在区间 $(-1, \dfrac{\pi}{2})$ 内， $f''(x)$ 单调递减，

$f''(0)=1$ ,

$f''(\dfrac{\pi}{2})=-1+\dfrac{1}{(1+\dfrac{\pi}{2})^2} \lt 0$

所以，当 $-1 \lt x \lt 0, f''(x) \gt 0$ , 在区间 $(-1,0)$ 内没有零点；

根据函数零点定理，在 $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ 区间内，函数 $f''(x)$ 有唯一的零点.

不妨记函数 $f''(x)$ 在区间 $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ 的零点为 $x_0$ , 则

当 $-1 \lt x \lt x_0, f''(x) \gt 0$ , 函数 $f'(x)$ 单调递增;

$f''(x_0)=0$ ;

当 $-1 \lt x \lt x_0 \lt x \leqslant \dfrac{\pi}{2} , f''(x) \lt 0$ ,函数 $f'(x)$ 单调递减;

所以，函数 $f'(x)$ 在区间 $(-1, \dfrac{\pi}{2})$ 存在唯一极大值点. 证明完毕.

【解答问题2】

$f'(x)=\cos x - \dfrac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\sin x + \dfrac{1}{(1+x)^2}$

∵ $e-1 \approx 1.718 \gt \dfrac{\pi}{2}$ , ∴ $0 \lt \ln(1+\dfrac{\pi}{2}) \lt 1$ ;

$f(0)=\sin 0-\ln 1=0$

$f(\dfrac{\pi}{2})=\sin\dfrac{\pi}{2}-\ln(1+\dfrac{\pi}{2}) \gt 0$

$f(e-1)=\sin(e-1)-\ln e \lt 0$

$f'(0)=\cos 0 - \dfrac{1}{1+0}=0$

$f'(\dfrac{\pi}{2})= \cos\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{1+\dfrac{\pi}{2}} \lt 0$

根据前节结论，函数 $f''(x)$ 在区间内有唯一的零点 $x_0$ ，函数 $f'(x)$ 在 $(0,x_0)$ 区间单调递增， $f'(x) \gt 0$ ;

函数 $f'(x)$ 在 $(x_0,\dfrac{\pi}{2})$ 单调递减，而 $f'(x_0) \gt 0, f'(\dfrac{\pi}{2}) \lt 0,$ ∴ 函数 $f'(x)$ 在 $(x_0,\dfrac{\pi}{2})$ 有唯一的零点 $x_1$ .

在 $(e-1,+\infty)$ 区间， $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ , ∴ $-\ln(1+x) \lt -1$ , $f(x) \lt 0$ ;

在 $(-1, 0)$ 区间， $f''(x) \gt 0$ , 函数 $f'(x) \lt f'(0) \Rightarrow f'(x) \lt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递减， $f(x) \gt f(0) \Rightarrow f(x) \gt 0$ ;

在 $(0,x_1)$ 区间，函数 $f'(x) \gt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递增， $f(x) \gt f(0) \Rightarrow f(x) \gt 0$ ;

在 $(x_1, \dfrac{\pi}{2})$ 区间，函数 $f'(x) \lt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递减， $f(x) \gt f(\dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow f(x) \gt 0$ ;

在 $(\dfrac{\pi}{2}, e-1)$ 区间，函数 $f'(x) \lt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递减， $f(\dfrac{\pi}{2}) \gt 0, f(e-1) \lt 0$ ;

在 $(\dfrac{\pi}{2}, e-1)$ 区间，函数 $f(x)$ 有唯一的零点；

另外， $f(0)=0$ , 这是 $f(x)$ 的另一个零点；

综上所述，函数 $f(x)$ 有且仅有 2 个零点. 证明完毕.

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