Omitted Variable Bias （OBV） 指的是， 一个统计模型遗漏了一些变量， 而模型把遗漏变量对响应变量的影响， 算在了已经包含的变量头上（张冠李戴了）。

发生 OBV 的必要条件

• 被遗漏的变量确实对Response Variable 有影响
• 被遗漏的变量必须和已包含的变量相关 （相关系数不为0）

详解

假设真实的因果关系是这样的：

(1)

也就是说，响应变量 y 被 x ，z 影响，其中 u 是误差项。假设 x 和 z 有如下关系

(2)

把 （2）带入 （1） 中， 得到:

（3）

由 （3）可以得知， 当遗漏了 z 时， x 的系数就变成了 （b + cf） 而不是 b 。 其中 b 是 x 和 y 的直接关系， 而 cf 是间接关系。

cf 包含了 OBV 的 extend 和 direction

• extend： cf 的绝对值
• direction: cf 的正负性

其中：

• 当 cf > 0 时， x 的作用会被 bias 变大 （夸大x的用处）
• 当 cf < 0 时， x 的作用会被 bias 变小 （贬低x的用处）

例子

一个测算被雇佣与本科学历的回归如下

employed ~ college

结果如下

image.png

之后， 研究者发现， 还应该引入是否是黑人这个变量， 于是，模型改为

employed ~ college + black 

结果如下

image.png

分析： 在第一个模型中， 由于遗漏了 black 这个变量，导致高估了获得大学学位的重要性 （0.0244 vs 0.0231）。

思考题
基于以上两个回归结果， 黑人获得大学学位的情况如何 ？

解答：
对应公式 (1) (2) (3)， 其中 ：

• college 是 x
• black 是 z

从第一个模型可得： (b + cf) = 0.0244 , 第二个模型可得 b = 0.0231, 由此可得：
cf = 0.0244 - 0.0231 = 0.0013
另外， 从第二个模型可知， c = -0.0347 ,
所以
f = 0.0013 / -0.0347 = -0.037
也就是说：
x (college) 和 z (black) 是负相关的， 所以可以得到， 黑人更少的获得大学学位。