微积分的本质/傅里叶变换
01、微积分的本质 - 前言
微积分到底是干嘛? 举个例子,我们知道圆周是 l = 2πr,那么,怎么证明圆的面积就是 S = πr^2 ?
我们用 dr(differentials r)导数定义 表示 微小的分割后的 r,一个圆可以切割成无数同心环,每个同心环的面积可以展开当成矩形。
02、微积分的本质 - 导数的悖论
导数是高维到低维的转化
致敬 如图,表示一个汽车加速行驶再停下来的过程,一个是行驶距离与时间的图像,一个是速度与时间的图像,速度的大小表示距离变换的快慢,即s(t)求导后的结果就是v(t)
本集,讨论导数的概率,有种说法,导数是瞬时的变化率,这种说法是自相矛盾的,应该换为:最佳的接近瞬时变化的变化值(为了规避在0点时候,一个悖论)
3、微积分的本质 - 用几何来求导
通过几何来推导x^2的导数是2x4、微积分的本质 - 直观理解链式法则和乘积法则
求导的复合乘法函数的乘法法则,如图f(x)= sin(x)x^2,这样的复合函数求导可以通过几何面积乘法来推导,进而得出该图的理论,乘法复合函数的求导是什么样的 对于嵌套的复合函数的求导过程推导过程,链式法则,原函数sin(x^2),对它求导就是如图过程5、微积分的本质 - 指数函数的求导
推导的第一步 推导的第二步,右边括号分式里的值等于什么?这是非常关键的点 e的导数还是e 对于指数函数,我们可以借助e这个神奇数字 在实际中,我们是见不到这样的a^t的写法,都是等价于e^ct写法,c = ln(a),ln(2)=0.6931 指数这个性质,我们才能选择 1 ,利用e来方便求导6、微积分的本质 - 隐函数求导怎么回事?
x,y同时由一个等式定义并互相联系在一起的,这种曲线就是所谓的隐函数曲线,比如x^2 + y^2 = 1
,即满足所有x,y的性质 和 所有的 (x,y) 的集合。
7、微积分的本质 - 极限
图8,对于这种极限,就要避免0\0的形式出现,那么怎么求0\0这样的形式呢? 图9。对于上面一张图8,我们分别画出3条线,3个函数的曲线,分子、分母的函数都在x=1时为0接合上图8图9,如何求sin(πx)/(x^2-1)
这样的函数在 x=1
时候的极限呢?
我们可以这样,各自求分母分子极限。分子求导可得cos(πx)*π*dx
,分母求导可得2x*dx
,接着,我们把x=1
代入式子中,并相除,约掉了dx,得出-π/2
,也就是图8这个奇怪的函数在x=1
时候,极限是-π/2
。
如上,当你需要计算一些0/0
型的极限时,你可以分别对分母分子进行求导,然后代入那个值,这种神奇的技巧就叫 洛必达法则 。
8、微积分的本质 - 积分与微积分基本定理
牛顿-莱布尼兹公式。求一个函数f(x)的积分,即求这个函数f(x)的原函数,通过原函数F(x)来计算积分,也就是f(x)在图像中形成的面积。若f(x)是一个汽车的速度函数,那么F(x)就是距离函数9、微积分的本质 - 面积和斜率有什么联系?(无限个数量怎么求平均值?)
为求f(x)在点(a,b)区段的平均值,即求f(x)围城的面积/b-a,那么就等于反导原函数F(x)中的 F(b)-F(a) / b-a
,这个式子仔细看就是原函数F(x)在(a,b)间的斜率。
9.1、微积分的本质 - 高阶导数
二阶导数表示斜率的变化,二阶导数值越大,表面斜率变换越快。
如图,以汽车加速开车并停下来的过程,以距离和时间为变量,得函数s(t),一阶求导反映的是速度变化,二阶导反映的是加速度的变化,三阶导反映的是急动度的变化高阶导数最大的作用就是帮助我们得到函数的近似。
10、微积分的本质 - 泰勒级数
如图,为了模拟函数f(x)=cos(x),我们分别比较f(x)、f'(x)、f''(x)的值,并与之对应指数函数,选指数函数是因为它的求导简单方便 泰勒级数,即通过模拟a点附近的近似趋势,进而模拟出a点附近的函数泰勒级数并不意味着多项式数据越多就越接近原函数,实际上泰勒函数有收敛域
,超过收敛域,多项式再怎么多,也不会接近原函数,如ln(x)等。
泰勒级数是利用某个函数单个点的导数来近似这个点附近的函数值。
形象展示傅里叶变换
傅里叶变换的应用太多了,比如音频的分解,现实声音中有许多不同杂音,如何将不同音频分解出来,
1图实际上表示的是 原地上下按固定频率震动的波而已,x轴是时间而已,看起来像波远去,其实就在原地,那么对于一个原地蹦跶的频率,我们给它另外一个维度的速度,即让这个波真正的移动,便于理解,我们给它一个绕圆的速度,即2图,两个分量,一个每秒振3次,一个每秒绕半圈,即振6次绕一圈 当信号频率和缠绕频率相等时(每秒3拍),就会出现这样的图,且保持。这样的图,质心只有一个点且不变化那如何利用这个分离频率呢? 这样,我们把线看成铁丝,通过观察这些铁丝缠绕形成的物体的质量重心的变换。
如图,图左中质心有x轴y轴,我们先只观察x轴,图右中 y为坐标质心的x坐标,x轴为缠绕频率。图右 可以称为 原函数的 近傅里叶变换那我们会问,为什么要观察质心的x轴变换?而不是y轴?质心的运动根据欧拉公式圆的推导 e^-2πift
,其实质心的y轴就是缠绕频率的变换。你想想,缠绕图它实际上是一个二维信号,一个维度信号上下振动,一个维度信号平移逐步加速,放到圆上可直接通过欧拉转换,那么质心的x和y,就是2个维度频率的体现,y值的频率图像表达的是虚部i 的频率。
那么,为什么是质心
?我们想想积分的定义,积分即求这个图像组成的面积,面积的平均值就在质心。傅里叶公式去掉了除平均这块,相当于傅里叶的结果是质心的x坐标再乘以这段时间值。