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微积分的本质/傅里叶变换

2020-01-26  本文已影响0人  时间之友

01、微积分的本质 - 前言

微积分到底是干嘛? 举个例子,我们知道圆周是 l = 2πr,那么,怎么证明圆的面积就是 S = πr^2 ?
我们用 dr(differentials r)导数定义 表示 微小的分割后的 r,一个圆可以切割成无数同心环,每个同心环的面积可以展开当成矩形。

一个r=3的圆,拆成矩形拼在一起,可以看成求圆面积即求该三角形的面积

02、微积分的本质 - 导数的悖论

导数是高维到低维的转化


致敬 如图,表示一个汽车加速行驶再停下来的过程,一个是行驶距离与时间的图像,一个是速度与时间的图像,速度的大小表示距离变换的快慢,即s(t)求导后的结果就是v(t)

本集,讨论导数的概率,有种说法,导数是瞬时的变化率,这种说法是自相矛盾的,应该换为:最佳的接近瞬时变化的变化值(为了规避在0点时候,一个悖论)



3、微积分的本质 - 用几何来求导

通过几何来推导x^2的导数是2x

4、微积分的本质 - 直观理解链式法则和乘积法则

求导的复合乘法函数的乘法法则,如图f(x)= sin(x)x^2,这样的复合函数求导可以通过几何面积乘法来推导,进而得出该图的理论,乘法复合函数的求导是什么样的 对于嵌套的复合函数的求导过程推导过程,链式法则,原函数sin(x^2),对它求导就是如图过程

5、微积分的本质 - 指数函数的求导

推导的第一步 推导的第二步,右边括号分式里的值等于什么?这是非常关键的点 e的导数还是e 对于指数函数,我们可以借助e这个神奇数字 在实际中,我们是见不到这样的a^t的写法,都是等价于e^ct写法,c = ln(a),ln(2)=0.6931 指数这个性质,我们才能选择 1 ,利用e来方便求导

6、微积分的本质 - 隐函数求导怎么回事?

x,y同时由一个等式定义并互相联系在一起的,这种曲线就是所谓的隐函数曲线,比如x^2 + y^2 = 1,即满足所有x,y的性质 和 所有的 (x,y) 的集合。

对于这样的隐函数,求导过程实际是上两边同时求导,再简单运算一下即可得出 又比如,一个5米长的木板,靠墙端以1米速度匀速下落,即函数y(t),满足 dy/dt = 1,那么墙角端的木板在t时间的速度是多少?怎么求?方法多种,这里用求导的方式去求,即对等式两边同时求导。先设木板脚端方程x(t),求y(t)=4时候,x(t)的速度是多少?我们根据图中右下角公式,可以得出,y(t)=4,x(t)=3,勾股定理,套用右下角公式,2*3* dx/dt + 2*4*dy/dt = 0,已知dy/dt =1 ,那么dx/dt值为4/3,这个dx/dt就是该瞬间的木板下脚速度 隐函数求导案例,对于 ln ,我们能把它变成 e^ 的方式 就这么可以求出最后结果1/x,也就是 ln(x)的导数是 1/x。本节说了这么多是为了带我们初步了解一下 多元微积分

7、微积分的本质 - 极限

图8,对于这种极限,就要避免0\0的形式出现,那么怎么求0\0这样的形式呢? 图9。对于上面一张图8,我们分别画出3条线,3个函数的曲线,分子、分母的函数都在x=1时为0

接合上图8图9,如何求sin(πx)/(x^2-1)这样的函数在 x=1时候的极限呢?
我们可以这样,各自求分母分子极限。分子求导可得cos(πx)*π*dx,分母求导可得2x*dx,接着,我们把x=1代入式子中,并相除,约掉了dx,得出-π/2,也就是图8这个奇怪的函数在x=1时候,极限是-π/2

如上,当你需要计算一些0/0型的极限时,你可以分别对分母分子进行求导,然后代入那个值,这种神奇的技巧就叫 洛必达法则



8、微积分的本质 - 积分与微积分基本定理

牛顿-莱布尼兹公式。求一个函数f(x)的积分,即求这个函数f(x)的原函数,通过原函数F(x)来计算积分,也就是f(x)在图像中形成的面积。若f(x)是一个汽车的速度函数,那么F(x)就是距离函数

9、微积分的本质 - 面积和斜率有什么联系?(无限个数量怎么求平均值?)

为求f(x)在点(a,b)区段的平均值,即求f(x)围城的面积/b-a,那么就等于反导原函数F(x)中的 F(b)-F(a) / b-a,这个式子仔细看就是原函数F(x)在(a,b)间的斜率。



9.1、微积分的本质 - 高阶导数

二阶导数表示斜率的变化,二阶导数值越大,表面斜率变换越快。

如图,以汽车加速开车并停下来的过程,以距离和时间为变量,得函数s(t),一阶求导反映的是速度变化,二阶导反映的是加速度的变化,三阶导反映的是急动度的变化

高阶导数最大的作用就是帮助我们得到函数的近似。



10、微积分的本质 - 泰勒级数

如图,为了模拟函数f(x)=cos(x),我们分别比较f(x)、f'(x)、f''(x)的值,并与之对应指数函数,选指数函数是因为它的求导简单方便 泰勒级数,即通过模拟a点附近的近似趋势,进而模拟出a点附近的函数

泰勒级数并不意味着多项式数据越多就越接近原函数,实际上泰勒函数有收敛域,超过收敛域,多项式再怎么多,也不会接近原函数,如ln(x)等。

泰勒级数是利用某个函数单个点的导数来近似这个点附近的函数值。



形象展示傅里叶变换

傅里叶变换的应用太多了,比如音频的分解,现实声音中有许多不同杂音,如何将不同音频分解出来,

1图实际上表示的是 原地上下按固定频率震动的波而已,x轴是时间而已,看起来像波远去,其实就在原地,那么对于一个原地蹦跶的频率,我们给它另外一个维度的速度,即让这个波真正的移动,便于理解,我们给它一个绕圆的速度,即2图,两个分量,一个每秒振3次,一个每秒绕半圈,即振6次绕一圈 当信号频率和缠绕频率相等时(每秒3拍),就会出现这样的图,且保持。这样的图,质心只有一个点且不变化

那如何利用这个分离频率呢? 这样,我们把线看成铁丝,通过观察这些铁丝缠绕形成的物体的质量重心的变换。

如图,图左中质心有x轴y轴,我们先只观察x轴,图右中 y为坐标质心的x坐标,x轴为缠绕频率。图右 可以称为 原函数的 近傅里叶变换

那我们会问,为什么要观察质心的x轴变换?而不是y轴?质心的运动根据欧拉公式圆的推导 e^-2πift,其实质心的y轴就是缠绕频率的变换。你想想,缠绕图它实际上是一个二维信号,一个维度信号上下振动,一个维度信号平移逐步加速,放到圆上可直接通过欧拉转换,那么质心的x和y,就是2个维度频率的体现,y值的频率图像表达的是虚部i 的频率。

欧拉公式,角度可以换成 2π

那么,为什么是质心?我们想想积分的定义,积分即求这个图像组成的面积,面积的平均值就在质心。傅里叶公式去掉了除平均这块,相当于傅里叶的结果是质心的x坐标再乘以这段时间值。

傅里叶变换
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