小学生算术题🧮纷争第四弹🤕

2022-06-26  本文已影响0人  Pope怯懦懦地

家里聚餐前又又又开始了小学生数学题的纷争，这次是道图形题，号称做出来的小朋友将来大概率上 985 没问题。我试了下，可耻地失败了。

阴影部分面积相等

吃完饭，喝完酒，送走客，不甘心，用解析几何解了下，居然这么简单☹️☹️☹️。以前小学生数学题顶多动员方程就搞定了，这次居然让我动用了解析几何😒。关键在于，为什么我没有看到那些关联？是什么限制了我的搜索空间？为什么那些关键一招在高阶工具面前（方程组、解析几何）无所遁形？如果我是小朋友，我应该如何复盘？

复盘开始：我一开始就着手去找各块图形面积之间的关系，但怎么也找不到面积和线段长度之间的关系。一度想先构建扇顶公式，后面发现过于复杂，放弃了。甚至动用了动态视野，想构建一个普适的关于同心圆逐渐分离的面积函数…… 却始终没有想到着眼线段构成去寻找联系。

由此可见，首先，我对目标定义不清晰。人要找的是线段长度，我一开始就奔着面积去，只∵求面积比较熟悉。结果在熟悉的错误方向上越走越远。当然，如果我功底够厚实，这条路应该也是可以走通的。

其次，对目标选段的枚举不完全。当前划分解不出来，就应该继续细分啊！

∴，结论是：把 Mathematica & \LaTeX 捡起来，实现快速解决问题 & 快速记录。掌握了高等工具，再让我退回去，是不可能的啦。先用高等工具解决，再寻找小朋友能够理解的方式讲解。

\begin{cases} S_A + S_C = \frac{1}{4} \pi r^2 \\ S_B + S_C = l \cdot r - \frac{1}{4} \pi r^2 \end{cases}

得到 l 和 r 的约束条件：

S_A - S_B = (\frac{\pi r}{2} - l) \cdot r

太神奇了，单求 S_A 或 S_B 都不容易，但这两个异形的面积差居然是个线性函数😮。而我就是在这之后误入歧途，想要通过求 S_A 去寻得 x 。 S_A(x) 有多复杂呢？我还真算了下：

扇顶面积公式

\begin{cases} S_A(h) = \arccos(\frac{r - h}{r}) \cdot r^2 - \sqrt{h(2r - h)} \cdot (r - h) \\ x = 2 h \end{cases}

可 S_A 是和 S_C 绑定的，难道再去求出 S_C ？绕太远了（除非我能迅速找到计算 S_B 或 S_C 的另一种方法（积分？成本💰太高😅））。我总在试图建立面积与线段长度之间的联系。但回头看，面积之间的关系仅仅是给出了 l 和 r 之间的约束条件：

∵ S_A = S_B ∴ l = \frac{\pi r}{2}

真正的突破口还是来源于搜寻线段长度之间的关系，而我低估了「正交且完整地枚举」的重要性 & 练习：

在搜寻：

\begin{cases} x = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \\ l = \frac{l}{2} + \frac{l}{2} \\ r = x + \overline{DO_2} \\ ... \end{cases}

众多可能之后，发现了关键一步：\frac{x}{2} + \frac{l}{2} = r 。

∴ x = (\frac{4}{\pi} - 1) \cdot l ，解毕。

在高观点下，一切伎俩无所遁形

可见画出中轴辅助线是关键。那么要是没作出这条辅助线，能否找出「关键一招」？至少用解析几何可以。以 O_1 为原点建立坐标系：

\begin{cases} x^2 + y^2 = r^2 \\ (x - l)^2 + y^2 = r^2 \end{cases}

可解出两圆的交点横坐标均为 \frac{l}{2} 。可见，在高阶工具面前，低阶伎俩无所遁形。

应该如何复盘？

1⃣️ 信息搜集是否完整？遗漏了哪些关键信息？
2⃣️ 击溃问题的武器🔱是否在你的武器库中？即这个知识点（最好把入库的门槛设为某种普适的原则，而非那些所谓「凑十法」的伎俩）是否为你所掌握？
3⃣️ 如果在你的武器库里，那么是什么遮蔽了你看到它？
4⃣️ 更新对你的武器库的了解。触发条件、适用范围、使用成本…… 最好给出几个 TL;DR[1] 的、极限情况下的使用范例。
5⃣️ 更新你心理上的认知盲点。

要是我大妞珠错题库里每一道错题都是这篇 Write Up 的剖析程度（包括绘图 & 使用 \LaTeX 记录），那她就不是在订错题本，而是在打造武器库😎。

Ref:

  1. Too Long; Don't Read. ↩

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