傅里叶变换

在学习图像的变换时遇到了离散傅里叶变换这种方式，一脸懵逼情况下开始了傅里叶变换的学习之路。再网上查阅了多种资料以后终于对其有了一定的了解，在此做出简单的总结。

其实简单些来讲，把傅里叶变换比作是棱镜一点也不为过。

可能有人会想，傅里叶变换不过是一个算法罢了，和棱镜有什么关系，现在我们便从信号系统学方向来进行解释。

首先，我们需要知道什么是频域和时域，百度百科的传送门：https://baike.baidu.com/item/%E6%97%B6%E5%9F%9F%E9%A2%91%E5%9F%9F/9399325?fr=aladdin

简单点来说，当我们听到了一段音乐，这段音乐可能是混乱的，也可能是清晰的，但是我们都可以将音乐的高低来根据时间的变化来得到一个随时间的振动图：

但是能从这幅图中能得到些什么信息呢？当然是很困难的，但是我们用傅里叶变换就能很好地解决这个问题。

我们从初中学的正余弦函数来讲，我们知道余弦函数的波形是这个样子的 y=cos(x)

那么如果是多个余弦函数的话是什么样子呢？
当我们设置成y=cos(x)-0.5cos(3x)时，就成了这样：

y=cos(x)-0.5*cos(3*x)

我们换个方向来看：

这样就更加清楚了，一个看似复杂的图像，实际上是有两个简单的图像叠加起来的，依次类推，叠加更多的简单余弦函数，出来的结果就成了:

我们所看到的一条变换后的最终图像，便是在时域的观察结果，但是如果我们换个方向呢？

顺着红色箭头的方向，我们看到的图像是一个树形条状的表：

频域

这就是频域的表示图。而傅里叶变换起到的作用，就在于将时域上的波转变到频域。
但是有的人会问，这样和图像处理有什么关系？与实际生活有什么关系？我们又能从中得到些什么有用的东西呢？
我们可以把刚才的例子们往宽泛来讲：
一个看似毫无规律的，复杂的时域波图像，实际却是由许多不同的单波累加而来，而傅里叶变换又可以将这些不同的单波在频域中分割开，是不是很有意思？
换句话来讲，我们在演唱会上听到的声音是又各种声音混杂起来的，十分嘈杂的，但是我们可以在得到现场直播的波形图后，用傅里叶变换将不同音色的波频分开，然后再去掉其中来自现场噪音的波频去掉，得到的这段波谱，就是去掉了我们不想要的声音之后的，纯净的音乐的声音。
虽然实际实施起来由于现场环境的复杂性，我们要真正做到完全除躁的难度很大，但是傅里叶变换在其中起到的作用可见一斑。
拿到图像中来说，我们拿到了一张图：

这张图片我们可以看到有很多有规律的条纹，我们把它做一个傅里叶变换转到频域上来看：

频谱图上可以看到有很多有规律的白点，这就是一些突出的，频率较高的波所在的位置，我们可以把其擦掉然后再进行一个反向的傅里叶变换得到时域的图像：

可以看出图像相比清晰了许多。
在进行滤波处理的时候，我们也可以根据自己的所需来使用不同的方式来进行滤波。
但是一般而言，高频率留下的是图像细节。低频率留下的是图像整体。通过滤波永远只会使图像失去更多的信息，而不是增加细节。
由于部分细节的丧失，傅里叶变换也可被运用到图像的压缩方面，使图像的内存减少。

去掉了繁琐的公式，这只是一些简单的关于傅里叶变换的理解，参考资料传送门：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
https://www.zhihu.com/question/460630
https://wenku.baidu.com/view/c5e2cca8fab069dc502201db.html
https://pan.baidu.com/s/1qWpqNnQ