证明在特定条件下，一个群的模分解在同构意义下是唯一的

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设 $p$ 是一个素数。考虑半直积群 $G=L\times H$ ，其中 $L$ 是一个循环 $p-$ 群， $H$ 是一个有限循环群以及一个有限生成的 $\mathbb{F}_p[H]-$ 模M，满足Hom $_H$ (L,End $_{\mathbb{F}_p}$ (M))=0。这里，元素 $h\in H$ 通过公式 $(h\varphi)(m)=h\varphi(h^{-1}m)$ ( $m\in M$ ）作用在元素 $\varphi\in End_{\mathbb{F}_p}$ (M)上。假设我们有一个 $\mathbb{F}_p[H]-$ 模分解

$M=M_1\oplus \ldots \oplus M_n$ , 使得对于任意 $i\neq j$ , Hom $_H(M_i,M_j)=0$ 成立。证明：对任意正整数d，以及任意 $(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]-$ 模N满足 $N\otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p$ 作为 $\mathbb{F}_p[G]-$ 模同构于M（这里我们将H自然地看作G的商群），都存在唯一一个 $(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]-$ 模分解

$N=N_1\oplus \ldots \oplus N_n$ , 使得对于任意 $1\leq i\leq n$ , $N_i\otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p\simeq M_i$ 成立。

证:

一、证明分解的存在性

由于 $N \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p \simeq M$ ，设 $\varphi:N \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p \rightarrow M$ 是一个同构映射。对于每个 $i$ ，令 $M'_i = \varphi^{-1}(M_i)$ 。考虑 $N$ 的子模 $N_i=\{n \in N \mid n \otimes 1 \in M'_i \}$ 。

1.证明 $N=\bigoplus_{i=1}^n N_i$ :

任取 $n \in N$ .则 $n \otimes 1 \in N \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p$ 。由于 $N \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p \cong M$ 且 $M = \bigoplus_{i=1}^n M_i$ ，所以 $n \otimes 1 = \sum_{i=1}^n (m_i \otimes 1)$ 。其中 $m_i\in M_i$ 。由 $M'_i$ 的定义可知，存在 $n_i\in N$ 使得 $n_i \otimes 1 = m_i \otimes 1 \in M'_i$ 。从而， $n = \sum_{i=1}^n n_i\in \sum_{i=1}^n N_i$ 。

2.证明 $N_i\cap\sum_{j\neq i}N_j = \{0\}$ :

假设存在 $n \in N_i \cap \sum_{j\neq i}N_j$ ，则 $n =\sum_{j\neq i}n_j$ 。其中 $n_j\in N_j$ 。那么 $n \otimes 1 \in M'_i$ 。同时 $n \otimes 1 = \sum_{j\neq i}(n_j \otimes 1)$ 。由于 $n_j\otimes1 \in M'_j$ 且 $\text{Hom}_H(M_i, M_j) = 0$ ( $i\neq j$ )，所以 $n_j \otimes 1$ 在 $M'_i$ 的分量是0。从而 $n_j= 0$ ( $j\neq i$ )，即 $n= 0$ 。

综上， $N-N_1 \oplus \cdots \oplus N_n$ 是 $(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]$ -模分解。

二、证明分解的唯一性

假设存在两个不同的模分解 $N = N_1 \oplus \cdots \oplus N_n$ 和 $N = N_1' \oplus \cdots \oplus N_n'$ 。对于任意 $i$ ，考虑 $N_i \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p\cong M_i$ 和 $N_i' \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p \cong M_i$ 。由于同构映射的唯一性，对于每个 $i$ 存在唯一的同构 $\psi_i: N_i\otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p \rightarrow N_i' \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p$ 。定义映射 $\tau_i:N_i \rightarrow N_i'$ 。使得 $\tau_i(n) \otimes 1 = \psi_i(n \otimes 1)$ 。

1.证明 $\tau_i$ 是模同态:对于任意 $a, b \in N_i$ 和 $g \in G$ ，有 $\tau_i(a + b) = \tau_i(a) +\tau_i(b)$ ，因为 $(a + b) \otimes 1 = a \otimes 1+ b \otimes 1$ ，所以 $\psi_i((a + b) \otimes 1)=\psi_i(a \otimes 1) + \psi_i(b \otimes 1)$ 。即 $\tau_i(a + b) = \tau_i(a)+ \tau_i(b)$ 。同理， $\tau_i(g\cdot a) =g\cdot \tau_i(a)$ .因为 $g \cdot (a \otimes 1) = (g \cdot a) \otimes 1$ ，所以 $\psi_i(g\cdot (a \otimes 1)) = g\cdot \psi_i(a \otimes 1)$ ，即 $\tau_i(g\cdot a) =g\cdot \tau_i(a)$ 。

2.证明 $\tau_i$ 是同构:由于 $\psi_i$ 是同构，所以 $\tau_i$ 是单射和满射。单射性:若

$\tau_i(a) = 0$ .则 $\psi_i(a \otimes 1) = 0 \otimes 1$ ，即 $a \otimes 1=0$ ，所以 $a=0$ 。满射性:对于任意 $n'\in N_i'$ 。存在 $n \in N_i$ 使得 $\psi_i(n \otimes 1) = n' \otimes 1$ 。从而 $\tau_i(n) = n'$ 。

综上， $N_i=N_i'$ ，所以模分解是唯一的。结论

因此，对于任意正整数 $d$ 和任意 $(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]$ -模 $N$ ，都存在唯一的 $(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]$ -模分解 $N=N_1 \oplus \cdots \oplus N_n$ ，使得对于任意 $1 leqi \leq n$ , $N_i \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p\cong M_i$ 。

证明在特定条件下，一个群的模分解在同构意义下是唯一的

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