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损失函数:0-1,Hinge,Logistic,Cross En

2019-06-17  本文已影响5人  9933fdf22087

主要内容:0-1,Hinge,Logistic,Cross Entropy,Square,Absolute,Huber
简述:损失函数刻画了模型与训练样本的匹配程度。

分类损失

分类Loss.png
1. 对于二分类问题,Y={1,-1},我们希望sign f(x_i,\theta)=y_1

0-1损失:L_{0-1}(f,y)=1_{f.y\leq0}
最自然的损失函数是0-1损失,表示的是,当且仅当预测为真的时候取值为1,否则取值为0。该损失函数能够直观的刻画分类的错误率,但是由于其非凸、非光滑的特点,使得算法很难直接对该函数进行优化。

Hinge损失:L_{hinge}(f,y)=max{0,1-f.y}
Hinge损失函数是0-1损失函数相对紧的凸上界,且当f.y\leq1时候,该函数不对其做任何处罚。由于Hinge损失在f.y=1处不可导,因此不能使用梯度下降算法优化,而是使用次梯度下降法。

Logistic损失函数:L_{logistic}=log_2(1+exp(-f.y))
Logistic损失函数也是0-1损失函数的凸上界,且该函数处处光滑,因此可以使用梯度下降法进行优化。但是,该函数对所有样本点都做惩罚,因此对异常点更为敏感。

Cross Entropy:L_{cross\_entropy}=-log_2((1+f.y)/2)
交叉熵损失函数是常用的二分类损失函数。交叉熵损失函数也是0-1损失的光滑凸上界。

回归损失

回归Loss.png

1.对于回归问题,我们期望f(x_i,\theta)\approx y_i

Square损失:L_{square}(f,y)=(f-y)^2
平方损失函数是光滑函数,能够使用梯度下降法优化。然而当预测值距离真是只越远时,平方损失函数的惩罚力度越大,因此对异常点比较敏感。

Absolute损失:L_{absolute}(f,y)=|f-y|
绝对损失函数相当于在做中值回归,相比做均值回归的平方损失函数,绝对损失函数对异常点更鲁棒。但是,绝对损失函数在f=y处无法求导。

Huber损失:L_{huber}(f,y)=\left\{\begin{array}{l}{(f-y)^2, |f-y|\leq\delta} \\ {2\delta |f-y|-\delta ^2, |f-y|>\delta }\end{array}\right\}
Huber损失函数在|f-y|较小时为平方损失,在|f-y|较大的时采用线性损失,处处可导,且对异常点鲁棒。

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