动态规划算法之解决背包问题
动态规划算法介绍
动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.
背包问题
动态规划算法最佳实践-背包问题
背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品
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要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出要求装入的物品不能重复。
思路分析和图解
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
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// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
代码实现
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
int m = 4; //背包的容量
int n = val.length; //物品的个数
//创建二维数组，
//v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n+1][m+1];
//为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
int[][] path = new int[n+1][m+1];
//初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
for(int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
}
for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
v[0][i] = 0; //将第一行设置0
}
//根据前面得到公式来动态规划处理
for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
//公式
if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
v[i][j]=v[i-1][j];
} else {
//说明:
//因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
//把当前的情况记录到path
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
for(int i=0;i<= v.length;i++){
v[0][i] = i;
}
//输出一下v 看看目前的情况
for(int i =0; i < v.length;i++) {
for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("============================");
//动脑筋
int i = path.length - 1; //行的最大下标
int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
if(path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
j -= w[i-1]; //w[i-1]
}
i--;
}
}
}
结果
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横轴表示:
背包能容纳的重量，分别从 0-4.
纵轴分别为 吉他，音响，电脑的值:
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与预期的结果一样。
