初探数学思维（八）：有限和无限的问题

一、无限的发展简史

1. 高等数学是重视“无限”的学科，学习高等数学，一个重要的问题就是需要清楚有限（又称“有穷”）与无限（又称“无穷”）的区别和联系。
2. 从有限到无限是一个巨大的飞跃，无限是通过几个路径进入数学的：
   （1）由“数”引进的。
   （2）由“量”引进的。量是随着测量进入数学的。对于那些不能由有限个整数的加减乘除四则运算来表示的量，数学上至少提供了三种无穷的表示方法：无穷级数、无穷乘积和无穷连分数。这些表示法包含了无穷多次运算或无穷多次操作。
   （3）由几何学引进的。
3. 微积分中的“积分法”和“微分法”均与无穷小量的运算有关。

二、两种无限观：潜无限和实无限

1. 潜无限思想：把“无限”看成是永远在延伸着，不断在创造着，永远完成不了的潜在的变程或进程的解释。
2. 实无限思想：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成的东西，即把“无限”对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体的思想。
3. 当代学者指出潜无限和实无限的区别如下：
   ——从生成的角度看，潜无限永远是现在进行时，而实无限则是完成时；
   ——从存在的角度看，潜无限是动态的和潜在的，而实无限是静态的和实在的。
4. 双相无限性原则：数学中的任何无限性对象都是潜无限与实无限的对立统一体，片面地强调任何一种无限观都是错误的。
5. 由于潜无限的过程主要反映由有限向无限的转化，即有限与无限的同一性的表现，实无限作为一种完成了的对象则主要反映了有限和无限的对立性。

三、有限与无限的区别与联系

1、算术：从有限到无限

1. 虽然有限与无限有着本质的区别，但是它们之间也有密切的联系，这些联系方法在数学上是非常有效和十分重要的，这也体现了量变到质变的辨证统一。

• 递推法
• 数学归纳法

• 无穷级数的定义与性质：无穷级数的和是用其前有限项的部分和的极限来定义的。

  
  
• 反证法、构造法也是把握无限的有效方法，如欧几里德用反证法和构造法给出的证明素数无穷多的著名例子。

2、集合：连续统假设

1. 集合为具有某种特定性质的事物的总体。
2. 集合论是现代数学的基石。集合论真正的精髓在于康托尔对无穷集合的探索过程以及所得到的超穷集合论的理论。
3. 一一对应是指集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，反之亦然。如果两个集合之间能够建立一一对应，数学上称两个集合等势。
4. 定义能与正整数集N建立一一对应的集合称为可数集，可数集的基数（正整数的个数），记为阿列夫零。
5. 数学上用R记实数集，R中包含有理数和无理数，称为实数连续统，因为它能够无空隙地填满数直线。
6. 实数集R与正整数集N之间不能建立一一对应。实数集R称为不可数集，它的势记为c。

3、微积分：极限

1. 微积分是以极限为工具研究函数的学科，其特点之一就是重用极限这一工具表达和研究函数。
2. 极限的概念和方法就是通过有限情形的“趋势”分析而获得无限过程的终极值。
3. 微积分中，导数、定积分是一种极限，而用于表达函数、研究函数的性质或近似计算函数值的幂级数、傅里叶级数都是用有限个函数和函数的极限来刻画的函数项数，即无穷多个函数的和。

• 无穷级数的表达式
• 函数项级数

• 无穷限广义积分

  
  
• 微元法

4. 微积分学发展：无穷小分析法——极限方法
   ——无穷小分析法。