矩阵是对线性变换的表示；确定了定义域空间与目标空间的两组基，就可以很自然地得到该线性变换的矩阵表示

矩阵的秩

• 「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度
• 「秩」是列空间的维度
• 数学家们定义，矩阵中的最大的不相关的向量的个数，就叫秩
• 一个向量组中，极大线性无关组中向量的个数

n级排列

由1,2,3....n组成的有序数组，所有n级排列的总数为n!(123....n-1*n)

排列逆序数

一个排列中逆序的总数，直白的说就是：一个排列顺序中数值前比该数大的数值个数的总和。
e.g：
34562
3：首位，无比其大的数，逆序计0
4：其前面无比其大的数，逆序计0
5：其前面无比其大的数，逆序计0
6：其前面无比其大的数，逆序计0
2：其前面有比其大的数，个数为4，逆序计4
则该排序的逆序数为：0+0+0+0+4 = 4

n介行列式

n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项；一种运算 其实质其实就是一个数，行数等于列数，共有n * n个元素。

n阶行列式.JPG

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积：
A1j1*A2j2....Anjn
的代数和，这里j1,j2....jn是1,2，...，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当j1,j2....jn是偶排列时带有正号，当j1,j2....jn是奇排列时带有负号。这一定义可写成:

n阶行列式计算公式.JPG

• 行列式性质
  性质1 ：行列互换，行列式不变。
  性质2 ：把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
  性质3 ：如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
  性质4 ：如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）
  性质5 ：如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。
  性质6 ：把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
  性质7 ：对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号

正交矩阵

如果AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”）或A'A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

可逆矩阵

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一
求逆矩阵：
初等变换法：对（A,E）作初等行变换，将A化为单位阵E，单位矩阵E就化为A的逆矩阵。

相似矩阵

• https://www.zhihu.com/question/20501504
  设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P'AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。
  同一个线性变化，不同基下的矩阵，称为相似矩阵。

矩阵特征值

• 定义
  设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0
  做了向量的线性缩放（特征向量控制方向）

矩阵奇异值

• https://www.zhihu.com/question/19666954
  R=U'SV,其中U（U'为U的转置矩阵）,V是两个正交矩阵,S是对角阵，对角线上的每一个元素都是矩阵R的奇异值