高中数学纲目

多面体与球：2016年全国卷C题10

2021-09-29 本文已影响0人易水樵

2016年全国卷C题10

（10）在封闭的直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 内有一个体积为 $V$ 的球. 若 $AB \perp BC, AB=6, BC=8,AA_1=3$ ，则 $V$ 的最大值是

$(A)4\pi \qquad (B)\dfrac{9\pi}{2} \qquad (C)6\pi \qquad (B)\dfrac{32\pi}{3}$

【解析】

因为 $AB \perp BC$ ，根据勾股定理可知： $CA=10$

记 $\triangle ABC$ 的内切圆半径为 $r$ .

$S_{\triangle ABC} = \dfrac {1} {2} AB \cdot BC = 24$

$= \dfrac {1} {2} r \cdot (AB+BC+CA) = 12 r$

所以 $r=2$

内切圆的直径为 $4$ , 而棱柱的高为 $3$ ，所以题中球体的直径 $2R = 3$ .

其体积 $V = \dfrac {4} {3} \pi R^3 = \dfrac{9\pi}{2}$

结论：选项B正确。

【提炼与提高】

本题涉及这样一个问题：三角形的内切圆半径。

以上图为例说明如下。记 $\triangle ABC$ 的内心为点 $Q$ , 记内切圆的半径为 $r$ , 则 $\triangle ABC$ 可以拆分为三个三角形，这三个三角形的面积之积与 $\triangle ABC$ 的面积相等，也就是：

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle QAB} + S_{\triangle QBC} + S_{\triangle QAC}$

$\dfrac {1} {2} r \cdot (AB+BC+CA) = S_{\triangle ABC}$

$r = \dfrac { 2S_{\triangle ABC} } { (AB+BC+CA) }$

本题值得重视的有以下两点：

内切圆的公式

面积方法

内切圆公式出场的机会不如外接圆那么多，部分考生可能不熟悉。这点需要注意一下。

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