数学素养
鸿雁于飞 8月31日
孩子升入四年级，期末数学才94。数学思维还有待提高。暑假在微信群看到了一些有价值的数学思维课，收获满满。
本文主要是让我们懂得数学怎么变成屠龙刀来杀杀现实问题。
本文喜马拉雅上有音频是夏老师讲的根据课标的数学素养。还有前面林欣浩老师的《数学有意思》都是授人以渔。我根据录音整理了一下文档。声明是夏老师讲课内容，本文是录音转载成文字。
数学是研究数量关系和空间形式的一门学科。数学漫长发展过程中，产生了几大思想，这几大基本思想是理解现实世界，解决现实问题的根本方法，它们分别是 抽象，推理和模型。
抽象：我们每天都在使用抽象思维。它的思维过程帮助我们更加深刻地理解世界的构成，人们研究事物的相同之处和事物的不同之处时，需要把研究的对象分离出来，形成结合，再把结合进行定义，命名，从而形成了概念，这体现了数学的一般性。
推理，它的作用是理解各种事物间的因果关系，能够帮助我们更好的理解事物的发展趋势，也能让我们理解从一般到或者从特殊到一般。这时数学的严谨性。
模型思想：人们用创造出来的思维方法描述现实世界那些规律性的东西，若使用模型人们就能将科学世界和现实世界连接起来。让我们能够用科学的方法去解决现实中的问题。
人们通过抽象形成概念，通过推理理解了关系，通过模型连接了科学和现实世界从而能解决问题，这3 方面思想是看待世界解决问题的基础。孩子们学习数学除了掌握基本知识，基本技能，经历基本活动经验之外，格外重要的是获得基本数学思想。这是学习数学的意义。
数学思维：这里用数学素养来讨论数学思维。数学素养可以理解为运用数学中的概念，思想和方法去观察世界，思考问题，分析问题，解决问题，这既是一种能力又是一种意识。数学思维方式是数学素养的一部分，是优先考虑使用数学工具，理论方法去认识世界，构知识体系并优化和改造世界的思维方式。简单说，数学素养就是用数学的眼光看世界，用数学的思维去思考问题，用数学方法去解决问题。数学的看，数学的想和数学的做。
课标十个核心概念：数感，符号意识，空间观念，几何直观，数据分析观念，运算能力，推理能力，模型思想，运用意识和创新意识。
数学素养和知识技能间的关系。一二三年级构成了义务教育的第一阶段，总的来说是培养学习习惯和积累基本数学学习经验的，建立概念体系的过程。从具体的知识技能而言，按照数与代数，图形与几何，统计与概率这三条主线区分达到以下目标：清晰的目标是一个结果，这些结果是学习的过程达到。
学习过程是发展学生数学素养的过程。学习过程设计得当，学习思维过程清晰，并不断地产生认知冲突，孩子们在在问题的引领下自主探究，逐步学会用数学方法解决问题，那么数学素养不断发展。如果是功利性，灌输式，填鸭式，过度强调技巧式学习，这种训练式学习使孩子会解题目，他们不懂得提出问题，也没有提问题的习惯，有悖于课标的要求，课标要求让孩子经历发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的全过程，不能让孩子一步到位技能解决问题，这样谈不上数学素养的培养。所以，我们教学指导实践中是坚决反对填鸭式，灌输式，过度强调技巧式。我们鼓励要求老师们教学过程学习活动的设计要以孩子为中心，提倡思辨式，互动式的课堂学习。
有些家长认为反复做题可以提高能力，我想提醒大家，反复做题是培养是技巧，不是技能，只有技巧是不够的，也是不行的。因为技巧是个案，对这道题好使，或者这类题好使，稍作变化就不会了。这不是数学能力，更不是数学素养，我们要的是会一题就会一类，甚至触类旁通。
下面以运算为例，数学素养是如何一步步渗透在知识技能的学的东西过程的。学生在三下应该掌握两三位数除以一位数的除法，学习的目标是理解算理，掌握算法，发展运算能力，那么在达到这个目标的过程中，孩子们都经历了怎样的学习过程，他们应当掌握什么样的数学思维？入学孩子首先认识数。数是什么，理解它涉及到2个素养，一个是数感，一个符号，数是符号（例如3），是对数量的抽象，只有概念不很重要，关系很重要。既然是从数量中抽象出来的，那么数的关系来自于数量的关系。数量关系的本质是什么？数量的本质是多少。来了一只狼，一只狗敢对付，如果来了有群狼，这只狗是不是掉头就跑？动物知道多还是少？动物知道就是本质动物知道的就是本质，最根本的。数量的本质是多和少，抽象到数就是大和小，输的大和小是数的本质，也是数感。如果只让孩子数数，他对数没有比较，不知道大小，数出多少也没有意义，。三个苹果，三只鸡可以用3个方块表示，然后再用一个数字3表示，数字3可以表示3个桌子，3个人，3块糖，这个过程就是要经历抽象的过程，有了抽象的符号3，也就是数字3孩子才经历了一个从具体到抽象的过程，才慢慢体会的数学的一般性。学生从一二年级开始经历了数位的成长，一位数到两位数，三位数这样的变化。这是培养数感和符号意识的过程，在这个过程中，孩子从对数量的认识到对数的认识，经历了数学抽象的过程，我们应当对他们对数产生好奇，对符号产生好奇，进一步就有机会思考数和数之间的关系，符号和符号间的关系，从而产生了敏感度。
接下来，孩子可以利用乘法口诀掌握表内除法，这也是对运算能力的培养。当从两位数除以一位数发展三位数除以一位数时，应当经历什么呢？这时候就需要有模型思维和推理能力。比如学生学习了表内的乘法，二三得六，进而他可以计算6/3=2，利用乘法口诀求商，那么6/3=2,他理解了是把6平均分3份，每份是2，那么60/3= ? 它怎么理解呢，它和6/3=2有什么关系呢？如果学生理解了6/3=2，那么要引导他60/3就是6个10平均分成3份，它和6/3=2的道理是一样的，只不过分的是6个10，6/3分的是6个1，进而再学600/3.，6000/3道理都是一样的。那么有了这样的基础，学生对于算理理解就方便了，而且在今后的学习中，我们都没有离开表内乘除法，也就是说，用表内乘法求商，我们在竖式计算中的每一步都是表内除法，所以孩子提出竖式上的商为什么被除数的数位对齐呢？不对齐会怎么样? 这样的问题非常好看，有利于他去理解除法竖式的算理。通过这些好奇和发问，孩子们是不是就有机会看到一些朴实无华的方法背后的方法人类的聪明与智慧呢？例如，他们看到了伟大的十进制计数法会不会就产生去创造新方法的愿望呢？这是不是就是我们所追求的创新意识呢？当然，我们也可以反过来想，如果不经历这样的过程，而是直接教给他们运算技巧，告诉他们规则就是这样，只需要1,2,3,4，再教给他们技巧5，6，7，8，就去解题吧。那么想象一下，孩子是否还有发问的意识，探究的过程以及一颗好奇的心呢？这值得我们大家深思。
总结刚才谈到的，第一，课程标准，十大核心概念是数学素养培养的可靠的可信的框架体系。重复一遍十大核心概念：数感，符号意识，空间观念，几何直观，数据分析观念，运算能力，推理能力，模型思想，应用意识和创新意识。渗透在十大核心概念之中的是数学基本思想，最本质的是数学抽象，逻辑推理和数学建模。数学抽象在小学阶段主要在表现在符号意识和数感，尤其在第一学段，是培养学生符号意识和数感的重要阶段，这里多说一点，我们也看到了，很多家长的问题，关于这个体系完备程度和实际操作的问题。我们目前也在做一些实验性的工作，希望把深藏于课标之内的这个体系充分展现出来，确切化，具体化，通俗化，可评价化，这个工作应该在不久的将来与大家分享。
第二，知识技能本身并不能代表数学素养，知识技能的学习过程渗透了数学素养，无论是课内的数学教学还是课外的一些兴趣类的学习都要尽量启发孩子问问题，合理引导自主探究，在学习过程中，渗透数学素养。
也有家长问道，在日常生活中如何培养孩子的数学素养，这是个很好的问题。家长是孩子的最好的老师，言传身教作为重要。家长有好奇心，孩子就学着有好奇心，家长们有探究欲，孩子们就学着去探究，我其实是在课堂内外共同培养孩子的知识能力，意识和人格。
刚才举了代数的例子，我再举个图形与几何的例子。当孩子在野外看到蝴蝶很容易就能观察到蝴蝶的身体左右两边很像，这就是观察到了蝴蝶身体两侧的对称现象，这就是数学眼光看世界，如果孩子是无意的，我们一定要保护和鼓励，今后他就养成了数学的看世界，他养成了生活的世界处处有数学。
孩子们要研究这种想象，可以启发他们自己研究，比如对折一下，那么当然不能用真的蝴蝶来对折了，可以用纸蝴蝶对折，或者想象的蝴蝶对折，我们会发现两边形状能够重合，这种折一折的方法就是数学的方法来思考，而想象的对折就是空间观念的起点。再进一步，我们就既然认识了对称的现象，那么怎么去描述它呢，那就创造一些概念，使用一些方法，确定一些的标准来描述，比如说，我们要明确什么是对阵轴，来研究对称轴两侧的图形和和对称轴的关系，我们会计算两边对应线和对称轴距离的关系，会判断对应线段和轴的角度关系，那么完成这些之后，我们就理解轴对称的现象，去研究它，判断它，去重新创造它，在这个过程就是数学的学习和应用的过程，大家都留意到了这个过程中孩子首先要有机会去观察，要能够朴素的说出来，其次要有一些方法来帮助孩子完成抽象的过程，比如用纸蜻蜓，或者蜻蜓的图形来代表真正的蜻蜓，可以折一折，想一想，帮助孩子感受这个现象，之后很关系的一步，启发式，我们怎么描述这个对称 现象呢？孩子如果思考了这一步，就能很透彻地往下学习轴对称图形的概念，和对应的数学方法，家长能够做哪些呢？
观察就多多创造观察的机会，一二年级要多多观察物体，感知数量，能够去比较，去辨识，三四年级可以观察一些现象，观察一些形象，结合生活的一些情境去感受。再比如说描述，描述，鼓励孩子们多说。说错，不全面都没关系，要确保先能说得出口，比如说哪个多，哪个少，哪个大，哪个小，哪个在左边，哪个在右边，相对于谁的左边，又相对于谁的右边。描述清楚了，就有机会辨识，归纳和演绎。比如说，ab两个事物，相同之处是什么，不同之处是什么，a事物改变什么，可以变成 b 事物，等等。特别重要的环节就是经常启发他们提出问题，比如为什么需要这个东西，没有它会怎么样，它给我们的生活和研究带来什么的便利，这个方法用在这里可以，用在别处可不可以？
总结下家长朋友可以和孩子一起培养思维过程，各种方法从哪里来到哪里去，去描述去辨识，去归纳，去演绎，一步步把生活中的观察与数学练习起来，去培养思辨的意识，除了去知道是什么还会去问为什么，这些都是在日常生活当中，家长可以帮助孩子的方面。
第二个话题想简单聊聊奥数的问题。奥数是在数学里追逐奥林匹克精神的过程。追求智慧领域的更快更高更强。这个数学领域的分支发展，数学领域和数学思想方法。因而被逐步挖掘出来成了一套体系，拓展思维，培养数学能力。
合理拓展数学思维是有帮助的，孩子们应该拓展数学思维，北师大《数学好玩》人教版的《数学广角》其实体现这些思想。
后记：林欣浩老师的《数学有意思》还有关于数学思维的基础。两者都是从思维入手让孩子理解数学本质。
本文收获之一：孩子计算出各种奇怪错误我就会说你没有数感，原来我也是鹦鹉学舌，听了夏老师的课我才知道数感的本质是数的大小。原来孩子计算30×28＝几十，我说你没数感是这样的本质。
本文收获之二：夏老师和林老师都说了数学里是研究关系的，我理解了数学是探究现实世界的工具以及模型是现实和数学之间的桥梁等等。
文章已于2019-08-31修改
