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换个姿势学数学

阅读该文章时要结合注释来看。为了叙述的完整感，很多拓展内容在注释上。

半弦表

天文学的发展对精确的制图提出了要求，人类对角的认识也从定性开始走向定量。

研究角度和长度之间的关系，其实就是在研究函数，所以用的办法也和之前谈过的乘法、对数是一样的：直接编一个表。

最早的时候托勒密用的就是弦长，不过后来这个表被印度数学家改良了，从“弦长表”改良成了“半弦表”，因为如果要用这个表解任意三角形的话，“半弦”明显比“弦”好用很多，就是在这张表中角的“半弦”也被叫做“正弦”，其余角的“半弦”就叫做“余弦”。[1]

图1：解任意三角形时，使用半弦更简单

后来，印度人的半弦表经阿拉伯人之手又传回了欧洲[2]，被翻译为希腊文 "sinus(sin)"，意为“海湾”，所以在东方人的意识中正弦是“弓弦”，而在西方人的意识中则是“海湾”， "co" 在拉丁语里有“联合”的意思，所以 "co-sinus(cos)" 就是“余弦”。

图2：sinus 代表海湾

日晷和测量金字塔的高度，都是利用了直角三角形的直角边，最初直角边之间的关系就是用拉丁文“阴影”命名的，随着数学的继续发展，概念也从具象走向抽象，15世纪之后开始用 tangere(tan) 来描述了，这个词在拉丁文中是“接触”的意思，而中国人把 "tan" 翻译为“正切”。这是显然是从线与圆的关系上来看的，"tan" 所在的直线和圆正好相切。

图3：tan源于光影

从具象到抽象

德国数学家利提克斯，一改过去用弧与弦来讨论，使用直角三角形斜边与对边的比来定义角函数[6]，编制了每隔 10" 的角函数表。计算机普及之前，角函数表一直都是重要工具。

图4：八位三角函数表 1976年 测绘出版社编

不过这种定义方法有缺陷：定义在直角三角形上，钝角的情况就不存在了，另外从这个角度上理解，我们似乎很难对它的含义作进一步的探究。[3]

随着解析几何的发展，人们发现如果在单位圆上定义，那么角函数可以用圆和三角形的线段，或者坐标之比来表示。[5]

钝角三角形的问题也就迎刃而解了，因为可以把高作在负轴上；这种定义方法也使角从静态走向动态，负角就出现了，从坐标系上来看顺时针转动是角度减少，反之，逆时针则是角度增加。[4]

图5：钝角问题的解决和负角的出现

另外，角函数还可以看做“解旋”[7]的过程：把旋转拆分为平移。这使得直角坐标系与角函数在物理学中大放异彩，因为它可以把复杂的曲线运动分解为简单的直线运动来研究。

图6：角函数解旋 图7：高考物理中的平抛运动分析

从几何意义上可看出，sin 和 cos 的值域是 [-1,1]，而 tan 是 R 。因为 tan 是斜率，所以垂直时不存在，故定义域为 。 从角“函数”看性质，之后会谈。

三角形与圆

你会发现，大量的概念都和直角三角形扯上了关系，直角三角形为啥总是出现？

如果从转动的角度来说直角三角形其实是简洁的，而任意三角形是复杂的。

➣为什么这样讲呢？

重新来看角和圆的定义(上一篇中谈过)，如果转动的时线段长度是可变的，那么最后形成的东西就是“任意三角形”了，对应乱乱的轨迹和无序；反之，产生的东西就是“等腰三角形”，对应的是优美的圆弧与有序。

为了计算的方便，我们把“等腰三角形”一份两半，形成“直角三角形”，同时也把圆弧和全弦一分两半，形成“半弦”(正弦)。

直角三角形本来就是圆的一部分(都是有序转动产生的)，只要一旦把角放到直角三角形，就可以化无序为有序，就意味着一下子多了非常多的已知条件，依靠直角三角形往往能让问题的解答简洁优美，有助于问题的解决。

图8：勾股定义和单位圆的解析式

所以，解决角的问题，放到直角三角形中看是十分有利的，而做到这一点又十分容易，只需要作高就可以了，从这个角度上来讲：“作高”的过程，其实就是在“作弦”，时光倒流，把原本乱乱的运动变成简洁的运动。所以直角三角形总是这么频繁的出现。

图8：直角三角形化无序为有序

总结

1. 角函数的发展也是从具象到抽象的过程：

   定性 → 弦长表 → 半弦表 → 定义在直角三角形上(角函数表) → 定义在直角坐标系上 → ？ → ？

2. sin 和 cos 的作用是解旋，tan是斜率。

3. 直角三角形是在旋转中充当了有序和无序之间的桥梁。

互动

1. 你觉得 → ？ → ？中的问号是什么呢，说说你的看法。
2. 关于角函数，你觉得教科书上的哪些说法是不利于理解的？
   这些有启发的观点，你又是从哪里看到的呢？
3. 数学史对于你理解数学概念有什么帮助？

优秀的回答将会在下篇文章的开头出现。

注释

[1] 弦长表是希腊天文学家 Hipparchus 首创的，其作品已失传，事迹记录于托勒密的《天文学大成》一书。如果不知道“正弦”先后有两个意思，就难以理解“正弦”与“圆”的关系。“遇见数学”翻译过一篇文章，作者说“正弦”和“圆”的关系是巧合，也许作者对这段数学史没有了解。

注释图1：琴弦(全弦)和海湾(半弦、今天的正弦)

[2] 阿拉伯是东西方的信使，托勒密的弦长表是 60进制的，因为那时只有60进制才能表示小数。印度人的发明的10进制也是阿拉伯人传到西方的，所以也叫做“阿拉伯数字”，其实阿拉伯人只是个翻译。

注释图2：托勒密的60进制弦长表

[3] 用斜边和对边之比定义角函数的源头就在于此。从名称上来看并不利于记忆，和“弦”、“割”及“切”的具象定义无关；其次，从定量上看不及单位圆和坐标系。可以用联想法辅助记忆。

注释图3：依靠字母的形象来记忆角函数的抽象含义

我记得当年上高中的时候，老师就是让我们背这种定义，现在回想起来感觉很难理解。

本来，我写了很多关于这方面的批评，并且放在了正文上。发布之前看到了“遇见”翻译的那篇文章，见作者义愤填膺，情绪激动，其实他也有理解错误的地方。

所以突然感觉不妥，就精简掉了批评，并把核心意思放到了注释上，至于狠批的内容，还是放在自己的博客上吧，爽与严谨不可兼得。

如果有一天我知道自己错了，就默默在博客上改掉，不给“遇见”添麻烦，如果批对了，则深藏功与名，装得一手好B。

[4] 在几何作图中我们往往默认长度是正数，也就是“单向数轴”。如果接受“长度也可以是负数”，也就是“数轴”的概念，那么就钝角的问题就解决了，角度也可以为负。

另外，在寻找复数的过程中，最关键的就从几何上解释，笛卡尔作为坐标系发明人，也没有意识到“数平面”的概念，结果寻找复数的努力失败了。

但是有一个人却极其接近成功，因为他发现如果是存在的，那么做出来的线段应该是在“上方”，这就暗示了“数平面”的存在。可惜这个概念实在是太过抽象，复数的发现最终与他擦肩而过，这个荣誉最后被高斯获得，“数平面”也被命名为“高斯平面”。

注释图4：如果他脑子更灵光一点，名字应该是"利沃斯平面"

[5] 定义在直角坐标系和单位圆上的角函数，曾出现过 12 种，目前最常用的有 6 种，剩下的 3 种没有介绍是因为与sin/cos/tan互为倒数，他们分别是 ：csc余割，sec正割，ctg余切。除非计算中经常使用，就不用符号表示，直接使用倒数表示。我找到了一张图，也许包含了12种吧，不常用的那些我没有仔细看，似乎有一些的名称统一性还挺差。

注释图5：定义在单位圆上的角函数

[6] 叫做“角函数”而不叫做“三角函数”是为了响应克莱因的建议。

在开始之前，我要说明用角函数这个名称似乎比习惯上用的三角函数要好，因为三角学只是这些函数的一个特殊应用。它们本身与指数函数相类似，但其中的反函数又类似对数函数。我们称这些反函数为测圆函数。 —— 《高观点下的初等数学》

[7] “解旋”一词借鉴于生物学中的“DNA解旋”，我认为这个词用来解释 sin 的意义是简洁而恰当的。

DNA解旋

参考资料

1. https://oikofuge.com/names-trigonometric-functions/ (图2、注释图1)

2. 《数学符号史》

3. 《数学史》

4. 《数学史通论》

5. Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002 ISBN 0-691-09541-8. (注释图2)

6. 《三角函数超入门》(注释图3)

7. 《虚数的故事》(注释图4)

8. https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif (图6)

9. http://www.sohu.com/a/280452745_372482 (图7)

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作者信息

我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。

心如止水：阅读 思考 践行