时间序列笔记-白噪声

2019-07-19 本文已影响0人新云旧雨

笔记说明

在datacamp网站上学习“Time Series with R ”track
“Introduction to Time Series Analysis”课程做的对应笔记。
学识有限，错误难免，还请不吝赐教。

弱白噪声（Weak White Noise）

序列 $Y_1,Y_2,...$ 是均值为μ，方差为 $σ^2$ 的弱白噪声过程（weak white noise process），记为“weak WN( $μ,σ^2$ )”,如果满足下列条件：

$E(Y_t)=μ$
$Var(Y_t)=σ^2$
$Cov(Y_t, Y_s)=0,t≠s$
若均值未说明，默认 $μ=0$

弱白噪声过程是弱平稳的，且有

$γ(0)=σ^2$
$γ(h)=0,h≠0$
$ρ(0)=1$
$ρ(h)=0,h≠0$
（ $Y_t与Y_{t+h}$ 之间的协方差记为 $γ(h)$ ，称为自协方差函数
$Y_t与Y_{t+h}$ 之间的相关系数记为 $ρ(h)$ ，称为自相关函数）

独立同分布白噪声（i.i.d. White Noise）

如果 $Y_1,Y_2,...$ 是独立同分布（i.i.d.）的过程，称其为独立同分布白噪声过程，记为i.i.d. WN $(μ,σ^2)$ .

白噪声与平稳性：

弱白噪声是弱平稳的
i.i.d.白噪声是强平稳的
i.i.d.白噪声是弱白噪声的充分不必要条件

特殊白噪声

如果 $Y_1,Y_2,...$ 是独立同分布的正态分布随机变量，则称为高斯白噪声过程（Gaussian white noise process）。
类似地，如果 $Y_1,Y_2,...$ 是独立同分布且满足自由度为ν的t分布的随机变量，则称为 $t_ν$ 白噪声过程。

预测白噪声

由于 $Cov(Y_t, Y_s)=0,t≠s$ ，白噪声过程中既往的测量值无法提供可以用来预测未来测量值的信息。若 $Y_1,Y_2,...服从i.i.d.WN(μ,σ^2)$ ，则对于 $h≥1$ ,有
$E(Y_{t+h}|Y_1,...,Y_t)=μ$

无法根据均值预测白噪声过程未来的偏差
未来独立于过去与现在
对未来的最佳预测值就是μ

对于弱白噪声，以上结论不一定成立，但是给定 $Y_1,Y_2,...Y_t$ ,对于 $Y_{t+h}$ 的最佳线性预测值（best linear predictor）仍然是μ。

模拟白噪声数据与拟合白噪声模型

模拟白噪声数据
在R中，可以使用arima.sim()函数模拟各种时间序列模型。
arima是自回归滑动平均混合模型（Autoregressive Integrated Moving Average model）的简称，模型有p,d,q三个参数：自回归阶数p，差分阶数d，移动平均阶数q，这三个参数会在以后讲解中再行详述。现在只需要知道ARIMA(0,0,0)模型就是一个白噪声模型（应该是i.i.d.WN吧）

模拟一个均值为100，标准差为10的白噪声数据

# Simulate a WN model 可不指定mean sd 默认均值为0，标准差为1
white_noise <- arima.sim(model = list(order = c(0, 0, 0)), n = 100, mean = 100, sd=10)
# Plot white_noise data
ts.plot(white_noise)

white_noise

拟合白噪声模型
可以用arima(..., order = c(0, 0, 0))函数对所给数据拟合白噪声模型。拟合后给出的估计值包括白噪声模型的均值（标为intercept）和方差（标为sigma^2）。对刚生成的模拟数据拟合白噪声模型：

arima(white_noise, order = c(0,0,0))

运行后会得到：模型均值的估计为101.2399，标准误1.0803；模型方差的估计为116.7；log likelihood为-379.87，AIC 为 763.75