由陌生到认识——微积分

2021-12-29 本文已影响0人读书郞

你好，微积分，希望可以认识你...

呃！同学，你好，你想认识我，得先认识导数和积分，我其实是导数和积分的合体。

嗯！好吧！那我先了解一下什么是导数吧！

导数是什么？什么是导数？

导数是用来分析变化的一种工具。

那么，什么是变化率呢？首先变化就是变化的意思。例如孙悟空的七十二变，有七十二般变化。变化率是指在某一变化过程中的变化势头（是激烈还是缓慢），比如自行车爬坡的速度，从坡谷到坡顶的过程中，速度会随着功率输出和坡度的不同有不同的变化，速度变化最激烈是那一个点呢？坡度也会变化，最陡最峭的是那一段呢？这些，用导数就可以数值化表示。

导数有什么用？

现实生活中可以通过导数来推导很多变化趋势，及早规防、准备将进行的事，例如天气预报、股票分析、图像处理，又或者预测某人有无喝醉了酒，等等。

怎样计算导数呢？

求导数即是求变化率，比较形象的计算方法是计算一条斜坡的斜率，假如这个坡没有高低起伏，像一条斜线，则它的斜率是恒定的，计算也很简单，从中(a)取一段距离(x)，用x距离后的位置减取x时的位置除以x就是计算这段距离的斜率的方法，写成公式： $斜率 = (f(a+x) - f(a)) / x$ 。

大家好，下面有位新人叫“极限”

求导，里面有一个称为“极限”的东西，什么是“极限”呢？比如做俯卧撑，一直做下去，总有一个数是你不能达到，但又可以无限接近的，这个数就是你做俯卧撑的极限，当你无限接近这个极限时你会出现什么情况，这个情况就是“导数”，千万不要把手都撑断了。

导数公式

$y=f(a)$ 的斜率可以这样表示： $\lim^ {}_{x \to 0}{\frac{f(a+x) - f(a)}{x}}$

这个公式叫做函数f(a)的导函数，意思是：当x无限接近0时，变化的结果是什么。

导函数可以用 $f'(a)$ 表示，读做“f撇a”。

完整的导函数式： $f'(a) = \lim^ {}_{x \to 0}{\frac{f(a+x) - f(a)}{x}}$ 这个公式称为基本求导公式

导数还有另外一种表示方法，对函数f(x)关于x的求导，可以表示为： $\frac{dy}{dx}$

也可以表示为： $\frac{df(x)}{dx}$

以可以表示为： $\frac{d}{dx}f(x)$

这里的d是英语“derivative(导数)"的第一个字母，上面几种方法表示对分子中的函数求关于分母中的变量的导数，与f撇的写法区别是，它明确表示出关于什么求导。

导数简单计算公式

$p' = 0$ p为常数时，没有变化，所以p的导数是0。
$(px)' = p$ p为常数，关于x求导，实际是求直线的斜率，直线的倾斜p，斜率就是p，所导数为p。
${f(x) + g(x)}' = f'(x) + g'(x)$ 对两个函数的和——f(x)+g(x)求导会得到f'(x)+g'(y)，这个是重要公式。
$(x^n)' = nx^{(n-1)}$ 这是使用很频繁的公式，可以通过基本求导公式推导出来。
$\{f(x)g(x)\}' = f(x)'g(x) + f(x)g(x)'$ 这是函数积求导的公式

导数的结尾

到此，大概也认识了导数，通过多点练习去加深印象吧，下面我们说说积分。

Hello，大家好，轮到我积分出场了，我这个积分可不是大家在某场所消费后获得的分数呵！

什么是积分？

积分是导数的逆运算，二者就像硬币正反面，也像镜外的实体和镜中的影像。利用积分可以求出变化的规律和不规则图形的面积。

哈哈！积分最早就是用来求圆形的面积的。

积分的表示方法

用符号 $\int$ 表示积分，这个符号和 $f$ 有点相似，笔画比 $f$ 少了一小点，大家还记得导数的符号吗？
导数的符号 $f'$ ，它比 $f$ 多了一点，导数积分的中分正是原函数。

看看下面两个式子：

读法：求函数f(x)关于x的积分，表示法： $\int{f(x)}dx$
读法：求函数f(x)关于y的积分， 表示法： $\int{f(x)}dy$

通过式子可以知道，求关于什么的积分，这个“什么”就要写 $d$ 后面，例如上面求关于x时写成 $dx$ 。

积分计算

积分是导数的逆运算，逆运算是倒过来算的意思，如果要计算 $\int{f(x)}dx$ ，只需要考虑“关于x求导得到f(x)的函数是什么"，就可以算出积分。

来点例子？

$\int{x^2}dx$ : 关于x求导得到 $x^2$ 的函数是什么呢？用前面认识的求导公式计算
$x^3$ 求导得多少？是 $3x^2$ ，想办法把3去掉，就可以得到 $x^2$ 了
对 $(\frac{1}{3}x^3)'$ 求导，就可以得到 $(\frac {1}{3} \times x^3)' = \frac{1}{3} \times 3x^2 = x^2$
所以上面关于 $x^2$ 求 x 的积分的解是： $\frac{1}{3}x^3$