凸集

2020-03-25 本文已影响0人 0843d07b95d5

1.凸集定义

定义1：若集合 $c$ 是凸集，那么对于集合内的任意两点之间的线段上的点仍然在集合内。

定义2: $\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_ix_i+...+\theta_nx_n$
$s.t \ \theta \in R;\sum_{i=0}^{n}\theta_{i}=1;\theta_i\in[0,1]$
称为凸组合（区别仿射组合）。

定义3:若集合 $c$ 是凸集，那么对于集合内的任意k个点的凸组合仍然在集合内。

定义4:对于任意集合，包含该集合的最小凸集称为凸包

2.凸集例子

例子

3重要的凸集

空集：是仿射集、凸集、凸锥
只有一个元素的集合：是凸集、仿射集、若这唯一的点是原点才能是凸锥
$R^n$ 空间：是仿射集、凸集、凸锥
$R^n$ 的子空间：是仿射集、凸集、凸锥（仿射集相关的子空间指由仿射集平移得到的子空间， $R^n$ 的子空间表示 $R^n$ 包含的子空间不需要做平移变换，切都包含原点）
任意的直线：是仿射集、是凸集。但不是凸锥因为不一定过原点
任意的线段：是凸集，只有一个点的线段才是仿射集，只有一个点而且该点是原点才是凸锥。
另外还有一个重要的凸集见超平面
上篇：仿射
下篇：锥

凸集

1.凸集定义

2.凸集例子

3重要的凸集

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