（11.3）James Stewart Calculus 5th
2018-03-31 本文已影响8人
dodo_lihao
The Integral Test 积分判别
上一节，有一些级数
可以通过一些简单的方法，求和
并且知道了，收敛的级数，是可以求和的
但是，对于具体的收敛或者发散的确认，具体求和还不太清楚
下面一起看看
先看一个级数：
我们简单看一下图像：
对应的和， 就是面积和， 要比积分的面积小
而积分的面积为：
我们可以知道对应的值
（欧拉， 有一个比较复杂的证明， 求出对应的值为 π^2 / 6）
所以，我们知道，对应的级数是收敛的
同理，对于级数
有图像：
也可以得到它是 收敛的
我们可以得到
也就是， f 在 [ 1, +无穷大 ) 连续正，并且递减
我们有上面的结论
例子1
我们知道，对应的 f 在 [ 1, +无穷大 ) 连续正，并且递减
在求对应的积分：
所以，我们知道对应的级数是 收敛的
例子2
在 7.8.2（自己真记不得了）中
我们知道
在 p > 1 的时候， 收敛
在 p <=1 的时候， 发散
所以，我们可以得到对应的定理
例子3
和
我们根据上面的公式
知道
前面的p >1 ，收敛
后面的p <1 ，发散
Estimating the Sum of a Series 估计级数和
我们先看一下
第n项之后的和：
对应的图像为：
我们可以知道：
同理，对于
我们可以知道：
我们可以得到定理：
例子5
（a）
首先，前10项和，我们直接求就行：
对应的积分为：
我们根据上面公式，有：
所以，对应的误差 小于 0.05
（b）
如果要让误差在0.0005内，则由：
有：
我们可以得到：
也就是需要32项
如果两边都 加上 Sn， 则有：
例子6
根据上面的求和，可以知道范围：
由
和
我们可以得到：
即：
我们取中间的值，可以得到：
Proof of the Integral Test 证明积分判别
略
其实， 上面的例子也说明了
所以，只是简单的文字描述
