随机的数学笔记

数学整理

易错点+基本知识点

1集合，不等式

｛xIm<x<n}可以空集，X∈（m,n)一定不是空集

空集问题

重根问题｛xI(x-(a-1))(x-a)(x-1)=0}，元素之和为3，a=2或3/2

互异性

均值不等式的适用条件

一些奇怪但是真的会错的点。

①全集概念，全集未必为R，补集为∅。e. g. 全集A={1，2}，A补=∅

②绝对值≥or≤问题，∪or∩问题，首题稍微注意点，不要开局翻车。

1逻辑用语

任意＞任意，min>max

存在＞存在，max>min

任意＞存在，min>min

任意p,总是q，承认，严格证明；否认，举一个反例。存在p,使q，反之。

例题：15.设P为曲线C：y2=4x上的任意一点，记P到C的

准线的距离为d.若关于点集A={M||MP|=d}（为一个圆，非所有圆集合）和B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2=r2}，给出如下结论：

①任意rE(0,+oo)，A∩B中总有2个元素；

②存在r E(0,+oo)，使得A∩B=空集

翻译：①只要存在1r,1d不成立，就不行

②只要存在1r,d成立，就行

数列

特殊化讨论。如一些等式中需要分开讨论的a1，等比数列q=1

等比数列公比不为零，任何一项都不为零

注意n的范围 e.g:(an)-(an-1)>0,此时n应大于等于二

q的正负导致只会导致偶数项有两解 e.g.:a3a7=a5²=2 a5=√2

概率，统计

易遗漏知识点：线性回归方程

当xy独立时，D(X±Y)= D(X)+D(Y)

二项式不要漏负号。如：55^55/8的余数：（-1）^55=-1

三角

k∈Z

等腰的多种情况

ω未必大于0,T=2π/lωl

换元后记得换回，别忘了写π

圆频率：ω

相位：ωx+φ；初相：φ

注意叠加后的范围（例题答案：4π/3)

向量

夹角排除平行

复数

平方根概念：z=2i,z平方根为1±i

立体几何，空间向量

关于2）3）的补充例题

别忘了写π

d=IOB·nl/InI，cos<n1,n2>=n1n2/ln1lln2l,cosθ=Icos<n1,n2>I

函数，导数

定义域检验（根号，log等）

增减区间不用U用和

叠加限制定义域，或者说，x的范围不是f()的定义域，（）里的才是

切点≠顶点

解析几何

圆特点：几何意义多，尽量少用代数硬算

椭圆特点：①有内部点，过内部点的直线与椭圆恒有两个交点。②椭圆非圆，和b不能相等。

双曲线特点：渐近线

抛物线特点：焦点，准线；二次直接代入较为方便，优先级可提到一次直线代入之前

倾角范围[0，π），求倾角or斜率着清

椭圆非圆，记得挖掉a=b那个值

大题中勿迁用前问特殊条件下的结论

垂直等腰的多种情况

椭，双的横竖两种情况

不确定一定有两交点时，>0可能赋分。同时>0可能作为限制条件确定某数的范围。

其他

1、看题：①选错or对 ②限定条件(已标x>0就不必分类讨论x<0且要舍增根）

2、除0漏解问题：两边不要乱消多项式

3、边界开闭问题

4、不要自行延伸限制范围（椭圆a=2，b>0,b未必小于2）

（二）方法+二级结论

解析几何

是否带特殊值？一般来说，定点问题不太适合特殊值（范围太广），其他所求之物较确切的还是要先拎出特殊情况捞分。

凑不齐韦达问题。消元，一般消那个外来的k（t）；消X（Y）的活和硬求根没区别

圆方程：AB为直径，P为任意一点，则（x-u1)(x-u2）+(y-v1)(y-v2）=0

原理：向量点乘，RtAPB

点差法：适用于中点问题中

根号下xy→到点距离；绝对值下xy→到线距离

双曲的焦点三角形内切圆轨迹为双曲（可以用角平分线带来的全等证明）

焦点三角形面积∠F,PF2=a，S=1/ 2PF,PF2sina=b^2sina/(1-cosa)=b ^2cot (a/2) （椭圆性质+余弦定理可以证明）

不等式

①函数性质②分离参数 or 构造函数③移对称轴（优先级↓）

向量

图中找基>坐标硬算，中点分解法

垂直与圆联系

概率

1、文氏图法，直观。适用于从反面解题。如6不同球放3不同盒子，几种放置法：

3的6次方-3乘2的6次方+3

插空法。适用于限定多，位置确定的事物。

如：编号123的3盒子，编号123456的6球。大号盒子中的球编号大于小号盒子。

1  2  3  4  5  6③

C（5，2）=10

先组合后排列。适用于全员分配问题。

如：四本书给三个人，几种？C（4，2）*3！=36

分组法。往往和其他联合使用，适用范围广，计算量偏大。