整数划分--思考问题背后的数学原理

今天在 leetcode 做动态规划的题, 做到一道整数划分的题目如下

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

Example 1:

Input: 2
Output: 1
Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.

这个用动态规划很容易写出代码如下,

class Solution:
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        self.dic={1:1}
        for i in range(2,n+1):
            mx = 1
            for j in range(1,i):
                prod = j*self.dic[i-j]
                mx =max(mx,prod,j*(i-j))
            self.dic[i] = mx
        return self.dic[n]

后来想到, 这不就是均值不等式吗? 给定和, 求积最大, 即

如果先不考虑整数的话,易知当所有数相等时最大,但是注意这里并不知道数的个数 k, 所以设各个数为 x, 有 n/x个
要求出 x, 可以用导数. 各个数的积即为 , 求其最大值

求导得

易知当 x = e 的时候函数 f(x)有最大值

下面考虑整数, x=2 或者 3

即比较 ,
的增长速度, 这很简单了, 其实都是指数函数, 换个形式即为
,

由于 n > 0 , 底数大的增长快,

计算得

所以, 尽量将整数 n 分成 3即可,

于是原题目有了下面的非动态规划解法

class Solution(object):
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n<5:
            return [0, 0, 1, 2, 4][n]
        x = n % 3
        if x == 0:
            return 3 ** (n // 3)
        if x == 1:
            return 3 ** (n // 3 - 1) * 4
        return 3 ** (n // 3) * 2

本来是个很简单的题, 但是给我的感觉就是:
动态规划是种系统的方法, 它依靠计算机的算力对问题直接求解, 不用了解其背后的数学原理.
而有时候, 如果我们跳出常规思维, 思考问题背后的数学规律, 就可能发现更加好的解法. 更加完备,快速, 健壮.