参考博客

梯度的计算

• 梯度模：
• 梯度方向：

以上都是按照定义计算的

• 一阶偏导数计算(h = 1)：
  
  我们发现，L的一阶偏导数都有一个1/2的参数，这个在实际操作中是不需要的，因为不会影响结果。

L为关键点，在统计L邻域的梯度直方图时，按Lowe的建议，梯度的模值m(x,y)按 σ=1.5σ_oct 的高斯分布加成，按尺度采样的3σ原则，邻域窗口半径为 3x1.5σ_oct。

梯度直方图

在完成关键点的梯度计算后，使用直方图统计领域内像素的梯度和方向。梯度直方图将0~360度的方向范围分为36个柱(bins)，其中每柱10度。如图5.1所示，直方图的峰值方向代表了关键点的主方向，(为简化，图中只画了八个方向的直方图)。

根据梯度直方图确定主方向

此处的梯度直方图是指关键点的某邻域的梯度直方图，确定关键点的主方向需要如下操作

• 梯度图像平滑处理
  为了防止某个梯度方向角度因受到噪声的干扰而突变，我们还需要对梯度方向直方图进行平滑处理。Opencv 所使用的平滑公式为：

  
  
  

  其中i∈[0,35],h 和H 分别表示平滑前和平滑后的直方图。由于角度是循环的，即00=3600，如果出现h(j)，j超出了(0,…,35)的范围，那么可以通过圆周循环的方法找到它所对应的、在00=3600之间的值，如h(-1) = h(35)。

• 梯度直方图的抛物线插值
  
  假设我们在第i个小柱子要找一个精确的方向，那么由上面分析知道：
  设插值抛物线方程为h(t)=at2+bt+c,其中a、b、c为抛物线的系数，t为自变量，t∈[-1,1],此抛物线求导并令它等于0。
  即h(t)´=0 得=-b/(2a)