数据结构与算法（第一季）：B树

一、B树性质

1、初识B树

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• B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统，数据库的实现。
• B树特点：
  • 一个节点可以存储超过2个元素，可以拥有超过2个子节点。
  • 拥有二叉树的一些性质。
  • 平衡，每个节点的所有子树高度一致。
  • 比较矮。

2、m阶B树的性质（m >= 2）

• 假设一个节点存储的元素个数为x。
  • 根节点个数：1 <= x <= m-1，三阶B树根节点数大于等于1并且小于等于2。
  • 非根节点：(m / 2)(向下取整) - 1 <= x <= m - 1
  • 如果有子节点，子节点个数 y = x + 1
    • 根节点：2 <= y <= m
    • 非根节点：(m / 2)(向下取整) <= y <= m

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3、B树 VS 二叉搜索树

• 将二叉搜索树的节点合并，可以成为B树。
• 多代（父和子）节点合并，可以获得一个超级节点（类似3阶B树中的18和33节点，23和30节点）。
  • 2代合并的超级节点，最多拥有4个子节点（至少是4阶B树）。
  • 3代合并的超级节点，最多拥有8个子节点（至少是8阶B树）。
  • n代合并的超级节点，最多拥有2^n个子节点（至少是2^n阶B树）。

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• 将18和33合并，23和30合并，20和21合并，45和47合并，50和52合并。即将一个B树变为二叉搜索树。

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二、B树的操作

1、搜索

• 先在节点内部从小到大搜索元素。
• 如果命中，搜索结束。
• 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤1。

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• 假设搜索72，首先在根节点做比较，72大于40，所以接着在根节点的右子树搜索，72大于60小于80，继续在60和80之间的子树寻找，因为72大于70，所以需要继续往70的右子树寻找，但是右子树为空，所以得出结论72不在该B树上。

2、添加

• 新添加的元素必定是添加到叶子节点。

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• 假设插入55，首先在根节点做比较，55大于40，所以接着在根节点的右子树搜索，55小于60，继续在60的左子树寻找，55大于50，所以将55插入在节点50的右侧。

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• 假设插入95，首先在根节点做比较，95大于40，所以接着在根节点的右子树搜索，95大于80，继续在80的右子树寻找，95大于90小于100，所以将95插入在节点90和100的中间。

3、上溢

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• 假设再插入98呢？（假设这是一颗4阶B树）
  • 最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制。
  • 这种现象可以称之为：上溢（overflow）。

4、上溢的解决

• 假设5阶B树。

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• 上溢节点的元素个数必然等于m（5）。
• 假设上溢节点最中间元素的位置为k（3）。
• 将k位置的元素向上与父节点合并。
• 将[0,k-1]和[k+1,m-1]位置的元素分裂成2个子节点，这2个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制（m / 2(向下取整) - 1）。

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• 一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决。

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• 最极端的情况，有可能一致分裂到根节点。
• 添加元素导致的上溢，是唯一一种可能导致B树长高的操作。

5、添加导致上溢的例子

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• 插入98

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• 98大于根节点，继续往根节点右子树比较，98大于60和80，继续往80右子树比较，98大于90，95，小于100，所以将98插入在95和100中间。
• 插入98之后，90 95 98 100节点溢出，需要上溢，将中间元素95或98向上与父节点合并，将90，98，100节点分裂成2个子节点。
• 插入52

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• 插入54

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6、删除

• 假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可。

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• 删除30

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• 假如需要删除的元素在非叶子节点中。
  • 先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值。
  • 再把前驱或后继元素删除。
• 删除60

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• 60的前驱为55，将55从54和55节点中删除，并将55覆盖60。

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• 非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中。
  • 所以这里的删除前驱或后继元素，就是最开始提到的情况：删除的元素在叶子节点中。
  • 真正的删除元素都发生在叶子节点中。

7、下溢

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• 假设一颗5阶B树，删除22。
• 叶子节点被删除一个元素后，元素个数可能会低于最低限制（>= m/2(向下取整) - 1）。
• 这种现象称为：下溢（underflow）。

8、下溢的解决

• 下溢节点的元素数量必然等于(m/2(向下取整) - 2)。
• 如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少m/2(向下取整)个元素，可以向其借一个元素。

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• 绿色节点在删除一个元素后，节点元素个数低于最低限制（>= m/2(向下取整) - 1）。
  • 为了使树继续满足B树的要求，需要对绿色节点进行下溢操作。
  • 将父节点的元素b插入到下溢节点的0位置（最小位置）。
  • 用兄弟节点的元素a（最大的元素）替代父节点的元素b。
  • 这种操作其实就是：旋转。
  • 注意子节点d也需要调整。

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• 如果下溢节点临近的兄弟节点，只有（>= m/2(向下取整) - 1）个元素。
  • 将父节点的元素b挪下来跟左右子节点进行合并。
  • 合并后的节点元素个数等于m/2(向下取整) + m/2(向下取整) - 2，不超过m-1。
  • 这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播。
• 添加元素导致的下溢，是唯一一种可能导致B树变矮的操作。