玩转数据结构-10.线段树
2019-06-20 本文已影响3人
BhVyk1
1.什么是线段树
假设有编号从1到n的n个点，每个点都存了一些信息，用[L,R]表示下标从L到R的这些点。
线段树的用处就是，对编号连续的一些点进行修改或者统计操作，修改和统计的复杂度都是O(log2(n)).
线段树的原理，就是，将[1,n]分解成若干特定的子区间(数量不超过4*n),然后，将每个区间[L,R]都分解为
少量特定的子区间，通过对这些少量子区间的修改或者统计，来实现快速对[L,R]的修改或者统计。
由此看出，用线段树统计的东西，必须符合区间加法，否则，不可能通过分成的子区间来得到[L,R]的统计结果。
2.为什么要使用线段树
-
1.经典的线段树问题：区间染色
有一面墙，长度为 n，每次选择一段墙进行染色，如下图所示：
image.png
数组实现：
染色操作（更新区间）O(n)
查询操作（查询区间）O(n) -
2.另一类经典问题：区间查询
image.png
3.图解线段树
image.png
线段树不是完全二叉树，是平衡二叉树（最大的深度和最小的深度差不超过1），平衡二叉树不会退化为链表
image.png
如果 n = 2^k ，只需要2n 的空间
最坏的情况，如果n = 2^k +1，则需要4n 的空间
如果区间有 n 个元素，用数组表示需要4n 的空间，线段树不考虑添加元素，即区间固定，使用4n 的静态空间即可
4.线段树的代码实现
- 基本实现：
public class SegmentTree<E> {
private E[] tree;
private E[] data;
private Merge<E> merge;
public SegmentTree(E[] arr, Merge<E> merge) {
this.merge = merge;
data = (E[]) new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];
buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
}
/**
* 在 treeIndex的位置创建表示区间[l...r]的线段树
*
* @param treeIndex
* @param l
* @param r
*/
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
if (l == r) {
tree[treeIndex] = data[l];
return;
}
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
int mid = l + (r - l) / 2;
buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
tree[treeIndex] = merge.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}
public int size() {
return data.length;
}
public E get(int index) {
if (index < 0 || index >= data.length) {
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
}
return data[index];
}
/**
* 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的左孩子节点的索引
*
* @param index
* @return
*/
private int leftChild(int index) {
return 2 * index + 1;
}
/**
* 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的右孩子节点的索引
*
* @param index
* @return
*/
private int rightChild(int index) {
return 2 * index + 2;
}
}
- 线段树的查询：
public E query(int queryL, int queryR) {
if (queryL < 0 || queryL >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length) {
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
}
return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
}
/**
* 在以 treeIndex 为根的线段树中[l...r]的范围里，搜索区间[queryL...queryR]的值
*
* @param treeIndex
* @param l
* @param r
* @param queryL
* @param queryR
* @return
*/
private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
if (l == queryL && r == queryR) {
return tree[treeIndex];
}
int mid = l + (r - l) / 2;
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if (queryL >= mid + 1) {
return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
} else if (queryR <= mid) {
return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
}
E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
return merge.merge(leftResult, rightResult);
}
