概率论（四）：随机变量的数字特征

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数学期望

对于离散型随机变量 $X$ 来说 $P\left \{X=x_{k} \right \}=p_{k},k=1,2,\dots$ ，若存在绝对收敛级数 $\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}p_{k}$ ，则称此级数为随机变量的数学期望，记作: $E(X)$ 。若为连续型随机变量 $X$ （概率密度 $f(x)$ ），存在的绝对收敛 $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 积分则是其数学期望。数学期望简称期望，又称均值。

$C$ 为常数，则 $E(C)=C$
$X$ 为随机变量， $C$ 为常数，则 $E(CX)=CE(X)$
$X,Y$ 为两个随机变量，则 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
$X,Y$ 是相互独立的随机变量，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$

方差

$X$ 是一个随机变量，若 $E\left \{[X-E(X)]^2 \right \}$ 存在，则称为 $X$ 的方差，记为 $D(X)$ 或 $Var(X)$ . $\sqrt{D(x)}$ 称为标准差或均方差，记作： $\sigma (x)$

离散型随机变量： $D(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\left [x_{k}-E(x) \right ]^2p_{k}$
连续型随机变量： $D(x)=\int_{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^2f(x)dx$
$D(x)=E(X^2)-[E(X)]^2$
$C$ 为常数，则 $D(C)=0$
$X$ 为随机变量， $C$ 为常数，则 $D(CX)=C^2D(X),D(X+C)=D(X)$
$X,Y$ 为两个随机变量，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\left \{(X-E(X))(Y-E(Y)) \right \}$
$X,Y$ 是相互独立的随机变量，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

切比雪夫不等式：随机变量 $X$ 具有数学期望 $E(X)=\mu$ ，方差 $D(X)=\sigma^2$ ,那么对于任意正数 $\varepsilon$ ,有不等式 $P\left \{|X-\mu|\geqslant \varepsilon \right \}\leqslant \frac{\sigma^2}{\varepsilon}$ 成立

协方差及相关系数

随机变量 $X,Y$ 的协方差： $E\left \{\left [X-E(X) \right ]\left [Y-E(Y) \right ] \right \}$ ,记作： $Cov(X,Y)$

随机变量 $X,Y$ 的相关系数： $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} }$

$Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X)$
$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$
$Cov(X_{1}+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$
$|\rho_{XY}|\leqslant1$
$|\rho_{XY}|=1\Leftrightarrow \exists 常数a,b,使P\left \{Y=a+bX \right \}=1$

当 $\rho_{XY} =0$ 时， $X,Y$ 不相关

矩，协方差矩阵

设 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 的二阶混合中心矩 $c_{ij}=Cov(X_i,X_j)=E\left \{\left [X_i-E(X_i) \right ]\left [X_j-E(X_j) \right ] \right \},i,j=1,2,\dots,n$ 都存在，则称矩阵 $C=\begin{pmatrix} c_{11} &c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ c_{n1}&c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix}$ 为 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 的协方差矩阵

概率论（四）：随机变量的数字特征

数学期望

方差

协方差及相关系数

矩，协方差矩阵

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