高等代数理论基础78：若尔当标准形的几何理论(1)

2019-04-29 本文已影响3人溺于恐

若尔当标准形的几何理论(1)

找一组基使线性变换 $\mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵称为若尔当标准形

定义：对于线性空间V中的线性变换 $\mathscr{A}$ 的多项式 $f(\mathscr{A})$ 及任意向量 $\varepsilon$ ,若有 $f(\mathscr{A})\varepsilon=0$ ,则称 $f(\lambda)$ 是 $\varepsilon$ 对于 $\mathscr{A}$ 的零化多项式,若 $f(\lambda)$ 是 $\varepsilon$ 对于 $\mathscr{A}$ 的零化多项式中次数最低的首一多项式,则称 $f(\lambda)$ 为 $\varepsilon$ 对于 $\mathscr{A}$ 的最小多项式

易证 $\varepsilon$ 对 $\mathscr{A}$ 的最小多项式整除 $\varepsilon$ 对 $\mathscr{A}$ 的任一零化多项式

引理：对 $\C$ 上有限维空间 $V$ 上的线性变换 $\mathscr{A}$ ,下列结论等价

1. $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_0,\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{n-1}$ 下的矩阵是若尔当块

$J(\lambda_0,n)=\begin{pmatrix}\lambda_0&0&0&\cdots&0&0&0\\ 1&\lambda_0&0&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1&\lambda_0&0\\ 0&0&0&\cdots&0&1&\lambda_0\end{pmatrix}$

2. $\varepsilon_0$ , $\varepsilon_1=(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0$ , $\varepsilon_2=(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^2\varepsilon_0$ , $\cdots$ , $\varepsilon_{n-1}=(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$ 是 $V$ 的基且 $(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^n\varepsilon_0=(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_{n-1}=0$

3. $V=P[\mathscr{A}]\varepsilon_0=\{f(\mathscr{A}\varepsilon_0|f(\lambda)\in\C[\lambda]\}$ ,且 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 是 $\varepsilon_0$ 的最小多项式

证明：

$1\Leftrightarrow 2$

由线性变换矩阵的定义,显然成立

$2\Leftrightarrow 3$

必要性

$\forall v\in V$ ,有

$v=l_0\varepsilon_0+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$

$=l_0\mathscr{E}+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0\in P[\mathscr{A}]\varepsilon_0$

此时 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 是 $\varepsilon_0$ 的一个零化多项式

设为 $f(\lambda)=l_0+l_1(\lambda-\lambda_0)+\cdots+l_{n-1}(\lambda-\lambda_0)^{n-1}$

由 $f(\mathscr{A})\varepsilon_0=0$

$[l_0\mathscr{E}+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}]\varepsilon_0$

$=l_0\varepsilon_0+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0=0$

但 $\varepsilon_0,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0,\cdots,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$ 是 $V$ 的一组基,线性无关

故 $l_0=l_1=\cdots=l_{n-1}=0$

即 $f(\lambda)=0$

故 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 是 $\varepsilon_0$ 的最小多项式

充分性

首先 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 是 $\varepsilon_0$ 的零化多项式

故 $(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^n\varepsilon_0=0$

$\forall v\in V=P[\mathscr{A}]\varepsilon_0$

有 $f(\lambda)\in P[\lambda],v=f(\mathscr{A})\varepsilon_0$

作带余除法, $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^ng(\lambda)+l_0+l_1(\lambda-\lambda_0)+\cdots+l_{n-1}(\lambda-\lambda_0)^{n-1}$

则有 $f(\mathscr{A})\varepsilon_0=g(\mathscr{A})(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^n\varepsilon_0+l_0\varepsilon_0+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$

$=l_0\varepsilon_0+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$

即 $\forall v\in V$ 为 $\varepsilon_0,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0,\cdots,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$ 的线性组合

设 $l_0\varepsilon_0+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0=0$

则 $[l_0\mathscr{E}+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})]\varepsilon_0=0$

令 $r(\lambda)=l_0+l_1(\lambda-\lambda_0)+\cdots+l_{n-1}(\lambda-\lambda_0)^{n-1}$

则 $r(\mathscr{A})\varepsilon_0=0$

若 $r(\lambda)\neq 0$ ,则 $\partial (r(\lambda))\le n-1$

与 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 是 $\varepsilon_0$ 的最小多项式矛盾

故 $r(\lambda)=0$

故 $l_0=l_1=\cdots=l_{n-1}=0$

即证 $\varepsilon_0,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0,\cdots,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$ 线性无关

故为 $V$ 的基 $\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理： $V$ , $\mathscr{A}$ 如上

则 $\mathscr{A}$ 在某基下的矩阵为若尔当形

$A=\begin{pmatrix}J(\lambda_1,k_1)\\&J(\lambda_2,k_2)\\& &\ddots\\& & &J(\lambda_s,k_s)\end{pmatrix}$

的充要条件为 $V$ 中存在 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s$ ,使

$V=P[\mathscr{A}]\eta_1\oplus P[\mathscr{A}]\eta_2\oplus \cdots\oplus P[\mathscr{A}]\eta_s$

且每个 $\eta_i$ 的最小多项式是 $(\lambda-\lambda_i)^{k_i}$

证明：

$A=\begin{pmatrix}J(\lambda_1,k_1)\\&J(\lambda_2,k_2)\\& &\ddots\\& & &J(\lambda_s,k_s)\end{pmatrix}$

$\Leftrightarrow V=W_1\oplus W_2\oplus \cdots\oplus W_s$ 是 $\mathscr{A}$ -不变子空间的直和

且每个 $\mathscr{A}|_{W_i}$ 在 $W_i$ 上有基使它的矩阵是 $J(\lambda_i,k_i)$

$V=W_1\oplus \cdots\oplus W_s$ ,对每个 $i$ ,有 $\eta_i\in W_i$ 使 $W_i=P[\mathscr{A}]\eta_i$

且 $\eta_i$ 对 $\mathscr{A}$ 的最小多项式为 $(\lambda-\lambda_i)^{k_i},i=1,2,\cdots,s\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：定理说明,要证若尔当标准形存在,只需证存在不变子空间的直和分解

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若尔当标准形的几何理论(1)

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