高中奥数 2022-03-10
2022-03-10 本文已影响0人
不为竞赛学奥数
2022-03-10-01
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P041 习题01)
设.求证:
证明
原不等式等价于.而
与
同号或同为零,故结论成立.
2022-03-10-02
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P042 习题02)
设;
,则
证明
原不等式等价于,即
.
2022-03-10-03
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P042 习题03)
设是给定的正整数,
,对于
个给定的实数
,记
为
的最小值.求在
的条件下,
的最大值.
解
设,则
因此,
又由于,
故,易见等号成立的条件.
2022-03-10-04
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P042 习题04)
求所有的正整数,使得
其中,且
.
解
显然,且
.
.
由条件可得.
上面不等式对求和,得
当时,由题设及上式,
.则
故.
当=1、2、3时,同样可求得
,
,
.
所以,故没有
,因此,所求的正整数
,
,
,
.
2022-03-10-05
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P042 习题05)
设是不全相等的
个正数
,且满足
,求证:
证明
原不等式等价于.
由Lagrange恒等式,.
不难验证,对,有
,
因此,等号不能成立.