从7块3毛5说起
1989年荷兰中学数学奥林匹克竞赛中有一道关于家庭妇男的题目，在奥数题中算是比较有意思的。题目是这样描述的：
有一个家庭妇男去超市买东西，每拿一样东西，他就把价格敲进他带的的计算器中。不过在每个价格之后，家庭妇男总是错把乘号键当成了加号键按下。到了收银台，商品的价格被正确地加和起来，他应该付7.35欧元。这个粗心的家庭妇男按照这个数字付好了钱，并没有表示任何异议，因为他带的计算器屏幕上显示的恰恰也是7.35欧元。这个家庭妇男一共买了3件东西，每件东西的价格都大于1欧元，请计算这3件东西各自的价格。
不得不说，虚构中的这位家庭妇男是幸运的，同样也是不幸的。幸运的是，错进错出的计算没有令他在收银台出丑；不幸的是，家庭妇男的形象如此糟糕，还被编排进了奥数题。
我们先来看看一般性问题：n个数之和与它们之积相等，即
注意到算术平均值不小于几何平均值，有
即
这个不等式可以作为一般性问题有解的前提条件。在粗心的家庭妇男问题中，n = 3，√27约等于5.20，x = 7.35，7.35 > 5.20。
n = 2是一般性问题中最简单的情况，如果ai和x都是整数，这个方程有几组解？
因为a1为整数，1必须被分母a2 – 1整除，所以a2 – 1只有两个解-1和1。因此，n = 2时的整数解只有两组(0, 0)和(2, 2)。
如果我们把条件放宽，只要求a1和a2中至少有一个整数，那么可以令a1为任一不等于1的整数k，同时令a2 = k/(k-1)。很显然，(k, k/(k-1))是一组符合条件的解。
如果把解的范围延伸到有理数，简单地变换方程a1 + a2 = a1 ∙ a2，可以得到1/a1 + 1/a2 = 1。
所以类似地，我们可以构建出多个符合条件的分数解，只需使得a1和a2的分子相同，分母之和等于分子即可，比如：a1 = (2k + 1)/k，a2 = (2k + 1)/(k + 1)；又如：a1 = (3k + 2)/(k+1)，a2 = (3k + 2)/(2k + 1)。这样在取倒数以后，1/a1和1/a2的分母将相同，分子之和等于分母，即1/a1 + 1/a2 = 1。
如果把这个有理数解应用到家庭妇男的超市购物情景之中，我们就多了一个限制条件：ai必须是有限小数，且小数点后不多于2位，这样才符合超市以欧元为单位的标价。
小数点后不多于2位的小数（或者整数），以分数形式表示、并且约分以后其分母一定是100的约数，即1（对于整数而已），2，4，5，10，20，25，50和100。这样，我们的策略即从以上9个约数中选取2个作为a1和a2的分母，再将两个分母加起来作为共同的分子。
从9个约数中选择2个（可重复）约数，一共有45种可能。注意到，当选择的两个约数不互质时，计算得到的解与互质约数的结果重复；实际上，不重复的解只有以下13组。
可以看到，第1组即整数解(2, 2)，第2组到第9组即至少有一个整数的解(k, k/(k-1))，剩下的4组解即没有整数的有理数解。
再来看看n > 2的情况。
我们同样从整数解开始。对于ai都是整数，宾州州立大学的Michael W. Ecker巧妙地构建了一个基本解(1, 1, …, 1, 2, n)，很容易知道，这(n-2)个1，2和n之和恰恰等于它们之积，即x = 2n。例如，对于n = 5，这个基本解就是(1, 1, 1, 2, 5)，x = 10。除了这个基本解，还存在一些非基本解，同样对于n = 5，(1, 1, 1, 3, 3)就是一个非基本解，此时x = 9。
Michael W. Ecker在2002年《数学杂志》（MATHEMATICS MAGAZINE）上发表了他的研究【1】，并给出了n ≤ 12时的基本解和非基本解。当然，他的研究远比这个深入，对整数解有兴趣的朋友可以去看看他的那篇论文。
1998年，波兰Nicholaus Copernicus University大学的Leo Kurlandchik和Andrzej Nowicki对整数解也做了深入的研究，并得到了14条定理【2】。
2006年，美国奥数竞赛中也出现了一道关于这个有趣方程整数解的题目，题目要求找到所有符合方程的正整数x。这里并不要求ai都是整数，比如(9/2, 4/3, 7/6)就是满足x = 7的一个解。此题的答案是，x可以是除了5以外的所有大于3的正整数，具体解题过程可以参考AoPS网站【3】。
如果把整数解拓展到所有的实数解，那么对于n > 2来说，方程必定具有无穷多个解。我们可以在三角函数中找到一个n = 3 的例子：对于三角形的三个内角A，B，C来说，其正切之和等于正切之积，即tanA + tanB + tanC = tanA ∙ tanB ∙ tanC。证明过程很简单，因为C = π – (A + B)，所以tanC = - (tanA + tanB) / (1 - tanA ∙ tanB)，移项以后就可以得证。
让我们回到家庭妇男的这个题目。这道题三个未知数，两个方程，约束条件是三个未知数都大于1，且最多只有两位小数。
为了更好地利用约束条件，我们把三个商品的价格用欧分来表示，这样题目就变成为：
735 = 3 ∙ 5 ∙ 72，7350000 = 24 ∙ 3 ∙ 55 ∙ 72。我们可以推出，
1） A1，A2和A3之中有1个奇数，2个偶数。因为，三者之积为偶数，说明三者之中至少有1个偶数；同时，三者之和为奇数，说明三者之中有且只有2个偶数。
2）A1，A2和A3都是5的倍数。三者之积是5的倍数，说明三者之中至少有1个是5的倍数。三者之和为5的倍数，所以要么三者都是5的倍数，要么只有1个5的倍数。假设只有A1是5的倍数，那么乘积中5个质因子5全部来自于A1，即A1 ≥ 55 = 3125，与Ai不超过735相悖。
3）根据1）和2），不妨设A1是奇数，A1 = a1 ∙ 5。A2和A3是偶数，A2 = a2 ∙ 2 ∙ 5，A3 = a3 ∙ 2 ∙ 5。其中ai是正整数。
4）A1，A2和A3之中有1个是49的倍数。因为三者之积中有两个质因子7，如果这两个7分别来自于两个A，第三个A则没有质因子7，那么三者之和将不是7的倍数，与三者之和能被7整除相矛盾。因此，这两个质因子7来自于同一个A，即A1，A2和A3之中有1个是49的倍数。
下面，我们分别考虑以下两种可能：
5.1）A1是49的倍数。那么A1 至少具有质因子5和因子49，因为A1是奇数，所以如果A1还具有质因子3的话，那么A1 = 3 ∙ 5 ∙ 49 = 735， A2 = A3 = 0，与题目条件不符。所以A1 只有质因子 5和因子 49，即A1 = 245。这种情况下，A2 + A3 = 490，A2 ∙ A3 = 30000。解二次方程发现A2，A3只有无理数解。
5.2）A2或者A3是49的倍数。不妨设A2有因子49，那么A2至少具有质因子2，5和因子49，因为(2 ∙ 5 ∙ 49) ∙ 2 = 980 > 735，所以A2只有质因子2，5和因子49，即A2 = 490。这种情况下，A2 + A3 = 245，A2 ∙ A3 = 15000。解二次方程可知，A1 = 125，A3 = 120。
因此，粗心家庭妇男买的三件商品的价格分别为1.20欧元，1.25欧元和4.90欧元。
最后，让我们来假设一下：过了几天，这个家庭妇男又来到超市，这次他买了4件东西，每件东西价格都超过了1欧元。和上次一样粗心的家庭妇男错把乘号键当成了加号键，最后收银台和他的计算器都告诉他应该付7.11欧元，请问这4件商品的价格分别为多少？
参考出处：
题图漫画：https://thuispapa.wordpress.com/over/
彩蛋：243, 1350, 1114, 237 in pi.
文/Athlon_BE
2018.11.3
