三道题入门柯西不等式

2020-07-18 本文已影响0人理理你的数学

1.前言

不等式是高中阶段的很重要的一门必修课，无论是国内竞赛还是国际竞赛会出现它的身影。

而柯西不等式更是作为高中阶段重中之重的一个基础不等式，因此本篇文章将会详述柯西不等式的基本概念与考查形式

2.柯西不等式

定理（柯西不等式的一般形式）设 $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n$ 为实数，则：

$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\ge (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$

当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$ 时，不等式等号成立

3. 柯西不等式的证明

此处给出构造法证明

证：若 $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ , 则不等式成立

设 $a_1,a_2,...,a_n$ 其中之一不为零，则 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2>0$

考虑函数： $(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)x^2+2(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$
$=(a_1^2x^2+2a_1b_1x+b_1^2)+(a_2 x+b_2)^2+\cdots+(a_n x+b_n)^2\ge0$

因此可知该函数的判别式
$\frac{\Delta}{4}=(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2-(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\le 0$

所以 $(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\ge (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$

当等式取等时判别式等于零，因此为函数的零点，此时需要满足 $(a_1x+b_1)^2=(a_2x+b_2)^2=\cdots=(a_nx+b_n)^2=0$ ,因此此时 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$

4.柯西不等式的记忆方式

如果你觉得柯西不等式不好记的话，可以伸出你的左手和右手，把左手的每个手指看作 $a_i^2$ , 右手手指看作 $b_i^2$

接着把左手手指与之对应的挡在右手手指前面，大拇指，食指等等都是重叠的，因此分别代表了 $a_ib_i$ ,但是因为两只手合并起来了，所以整体要乘二次方

简单来说就是左手乘右手 $\ge$ 双手交叉

5.柯西不等式的考查形式

下面展现三道题带你了解柯西不等式的考查方式

5.1 第一题

已知 $x,y,z\in(0,+\infty),且x+y+z=1,求\frac{1}{x}+\frac{9}{y}+\frac{25}{z}$ 的最小值。

解：由柯西不等式可知,

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}+\frac{25}{z})\ge(1+3+5)^2=81$

因此

$(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}+\frac{25}{z})\ge 81$

故知最小值为81，此时 $x^2=\frac{y^2}{9}=\frac{z^2}{25}$ , 又因为 $x+y+z=1$ ，可以知道 $x=\frac{1}{9},y=\frac{3}{9},z=\frac{5}{9}$ ，满足 $x,y,z\in(0,+\infty)$

5.1.1 小结

一般当题目当中的式子有一一对应关系且有次数上的联系，我们就可以考虑使用柯西不等式，例如上题当中（ $x$ 对应 $\frac{1}{x}$ , $y$ 对应 $\frac{9}{y}$ , $z$ 对应 $\frac{25}{z}$ ）

5.2 第二题

经常考查的对应次数关系还有如下这种

已知 $t=\frac{x+y+z}{\sqrt{x^2+2y^2+4z^2}}$ ,求 $t$ 的最大值

由柯西不等式可知， $(x^2+2y^2+4z^2)^{\frac{1}{2}}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}\ge(x+y+z)$

因此， $t=\frac{x+y+z}{\sqrt{x^2+2y^2+4z^2}}\le(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$

5.2.1 小结

由这道题可以看出，我们经常需要凑一些常数项来使用柯西不等式，而柯西不等式考查的时候经常会考验二次和一次的转换，（例如本题中的 $x+y+z,x^2+2y^2+4z^2$

5.3 第三题

已知 $\frac{3}{2}\le x\le 5$ ，

求证: $\sqrt{4x+4}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<\sqrt{78}$

因为 $[(x+1)+(2x-3)+(15-3x)]^{\frac{1}{2}}(4+1+1)^{\frac{1}{2}}\ge(\sqrt{4x+4}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x})$

化简得 $\sqrt{4x+4}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}\le\sqrt{78}$

又因为等式取等时 $\frac{x+1}{4}=2x-3=15-3x$ 此时x无解

故等式不成立，可得 $\sqrt{4x+4}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<\sqrt{78}$

5.3.1 小结

通过这道题，我们可以发现有些时候柯西不等式是需要构造的，这往往是最难的一步，构造的方法千变万化，但不变的是我们需要创造出常数项去凑柯西不等式，（例如本题当中的 $x+1+2x-3+15-3x=13$ ）

5.4 总结

通过这三道题目，我们可以看到柯西不等式实际上由三个式子组成，因此要成功运用柯西不等式，要至少保障其中一到两个式子为常数。

更多的不等式相关的知识将会陆陆续续呈现出来，同时欢迎关注我的微信公众号，理理你的数学，上面会周更优质数学文章。